点集拓扑期末试卷
3页1、 | | | | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | | 线 | | | | | | | | | |得分阅卷人一、单项选择题 (每小题3分,共30分)1、设,下列集族中,上的拓扑是 ( ). 2、已知,拓扑,则=( ) 3、在实数空间中,有理数集的边界是 ( ) Q R -Q R 4、在实数空间中,区间的内部是 ( ) 5、设是一个拓扑空间,A,B 是的子集,则下列关系中错误的是( ) 6、离散空间的任一子集为 ( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 共 6 页,第 2 页共 6 页,第 1 页 点集拓扑试题样卷A7、设是拓扑空间的积空间.是到的投射,则是( ) 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射8、在实数空间R中,下列集合是开集的是( ) 整数集Z 有理数集 无理数集 整数集Z的补集9、设,是的拓扑,,则的子空间的拓扑为 ( ) 10、设,拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为 ( ) 1 2 3 4 得分阅卷人二、填空题 (每小题4分,共20分)1、 设,则的平庸拓扑为 ;2、 每一个球形的邻域都是 开集 3
2、、若拓扑空间有一个可数稠密子集,则称是一个 可分空间 ;4、若任意个拓扑空间,都具有性质,则积空间也具有性质,则性质称为 有限可积性 ; 5、是拓扑空间到的一个映射,如果它是一个满射,并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑,则称是一个 商映射 ; 一二三四总 分 |得分阅卷人四、证明题(每小题6分,共30分)2、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.证明:如果是的一个不连通子集,则存在的非空隔离子集使得 3分于是是的非空子集,并且:所以是的非空隔离子集 此外,这说明不连通,矛盾.从而是的一个连通子集.4、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理. 证明:若满足第一可数公理,则在处,有一个可数的邻域基,设为V x ,因为X是可数补空间,因此对,是的一个开邻域,从而 ,使得. 于是, 3分由上面的讨论我们知道: 因为是一个不可数集,而是一个可数集,矛盾.从而X不满足第一可数性公理. 得分阅卷人三、名词解释(每小题4分,共20分)1、 同胚映射:设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射,并且和 都是连续映射,则称是一个同胚映射或同胚.2、不连通空间3、拓扑4、导集5、度量 | | | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | | 线 线 | | | | | | | |共 6 页,第 4 页共 6 页,第 3 页 | | | 3、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两 个无交的开集使得,则或者,或者.证明:因为是的开集,从而是子空间的开集.又因中,故 由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;若,则 | | | | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | | 线 线 | | | | | | | |共 6 页,第 6 页共 6 页,第 5 页 | |
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