2华东师范大学第二附属中学创新班和理科班用数学高中上册3

1、第三章函数 3.1函数与映射在初中我们已经学习了函数的概念它是这样叙述的：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.在学习了集合概念之后我们可以将函数的概念进一步叙述如下：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使得对于集合 A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数 y与之对应，那么就称 f：A_； B为集合A到集合B的一个函数，记作 y = f x , xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值， 函数值的集合y=f x , x A叫做函数的值域.一般地，函数的定义域是由问题的实际背景所确定的如果只给出函数的解析式y = f x，而没有指如果将函数的定义中的两个非空数集扩展到任意元素的非空集合，我们可以得到映射的概念.对于任意两个集合 A, B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素 x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A；B为一个映射.记作f:A；B，其中b称为像，a称为原像.由映射的定义可知函数是特殊的映射.按照映射的定义，下面的对应都是映

2、射.(1) 集合A =中国、美国、俄罗斯)，B= 北京、华盛顿、上海、莫斯科)集合A中元素x按照对应关系 该国的首都”来对应集合B中的元素.(2) 集合A=-1 , 1 , 2 , -2 , -3, B=1 , 4 , 9 )集合A中元素x按照对应关系 取平方与 集合B中的元素对应.(3) 集合A = P P为直角坐标系中的点, Bx , y x R , y 5 R?按照建立直角坐标系的方法，使A中的点P与B中的有序数对 x , y对应.如果f : B是一个映射且对任意 x , y三A , x = y，都有f x = f y，则f : Ar B是A到B上称 之为单射.如果f:Ar B是映射且对任意 yB，都有一个A使得f x = y，则称f : Ar B是A到B上的满 射.60数学(高中上册)如果f : A)B既是单射又是满射，则 f : A B是A到B上叫做一一映射.如果f ： a_. B是从集合A到集合B上的一一映射，并且对于 B中每一元素b，使b在A中的原像a和 它对应，这样所得的映射叫做f : A B的逆映射，记作f：B A .例1.求下列函数的定义域：(1) 求函数y二19-

3、xf x = x2 -2x -3 .x +1的定义域；vx -1解：(1)这函数是两项之和，由第一项有：由第二项有：9x2 0 ,二-3 x 2 或 w -2 .(2) 设 fx 二ax ba = 0 ,则 3 f x T;-2 f x -1 =3ax 3a 3b - 2ax 2a - 2b = ax b 5a = 2x 17 ,(3)1 3把中的x换成1，得2f 1x f x；=3xx 2 -得 3f x =6x 3 ,x1.f x i=2x.X R , x = 0 x注意：求函数解析式，除了对应法则外，还要在对应法则后标注函数定义域. 例3.下面三个对应中哪些是从 A到B的映射.(1) A = R, B = y 0,f : x= y = x ;(2) Axx 2 , x N * B =7y y 0 , y N?, f :xy =x2 -2x 2 ；(3) A =x 0 f, B =y ：= R , f : x r y - x .例4.从集合A到集合B的映射中，下列说法哪些是正确的 ？哪些说法是错误的？(1) A中的某a的像可能不止一个.(2) A中两个不同元素 a1、a2的像必不相

4、同.(3) B中某一元素b的原像可能不止一个.(4) B中两个不同元素的原像可能相同.(5) B中的任一元素在 A中必有原像.(6) A中任一元素在 B中必有唯一的像.解：由映射定义上述结论(3)、(6)正确，(1)、(2)、(4)、( 5)错误。例5.我国是水资源比较贫乏的国家之一， 各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费一基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量 a米3时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费 c元；若用水量超过a米3时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每米3付b元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示:月份用水量(米3)水费(元)1992151932233根据上表中的数据，求 a、b、c .解：设每月用水量为x米3，支付费用为y元，则有8 亠bx-ai 亠c, x a由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15米3, 22米3均大于最低限量a米3，于是就有33 =8 b 22 -ac解之得b =2，从而2a =c 18 .再考虑一月份的用水量是否超过

5、最低限量a 米3，不妨设8 a ,将x=9代入式，得9 =8 2 9-a c ,即2a =c 17，这与矛盾.9 w a.从而可知一月份的付款方式应选式，因此，就有8，c=9，得c = 1 .故 a =10 , b =2 , c =1 .例 6.已知函数 f x 二ax2 2bx 4c a , b , c R , a - 0 ,函数f x的图像与直线y - _x均无公共点，求证：4b2T6ac“T ；3M a，使 xhO, M a 时,(1) 若b=4 ,c= -时，对于给定的负数a，有一个最大的正数62都有f (x戶5，求a为何值时M (a j最大？并求M (a)的最大值.(2) 若a 0且a b =1，又x 2时，恒有f x 2，求f x的解析式. 解：(1)函数f x与直线y =x无公共点，既有 ax2 2bx4c=x无实数解.2 2故：=2b -116ac : 0 ,即 4b -4b 1 -16ac ： 0 .同理函数f x与直线y = _x无公共点，即有4b2 4b T16ac ：0 .两式相加 得 8b2 - 2 -32ac ：0，即 4b2 - 16ac ： -1 .31

6、6(2) ； b =4 , c =f x =a Ix3 -aaa ：0 ,” 、 16-f x max a164当 35，即-8 : a : 0 时，0 ： M a Vaa可见，M a是方程f x=ax2，8x *3=5的较小根，由求根公式得当 316 5，即 a w -8 时可知 M (a 4 .aa可见，M a是方程f x =ax2，8x，3=-5的较大根，由求根公式得则M当-8 : a ：0 时2a，当a _2 =f 063故f x在x =0处取到最小值且 0三.2 , 2从而x=0是fx的对称轴故b=0, a=1. fx=x2_2 基础练习1. 已知集合M - 1 x, y x y ,映射f : M N，在f作用下点x , y的像是2x ,2 ,则集合N = ()(A) ： x ,yx y=2, x 0, y 0 /(B) x, y xy =1 , x 0 , y 丄(C) ： x, y xy =2 , x ： 0 , y : 0f(D) *、x , y xy = 2, x 0 , y 0:2. 设集合M - 1, 0, 1 ? , N -2 , -1 , 0, 1 , 2 ?

7、,如果从M到N的映射f满足条件：对 M中的每个元素x与它在N中的像f x的和都为奇数，则映射 f的个数是(A) 8 个(B) 12 个(C) 16 个(D) 18 个3在下列四组函数中，f x与g x表示同一函数的是(A)f x =x-1, g x(B)x 1 , x 1 , f(x)=x+1, g(x)=Lx_1, x Y满足：对任意的 x X，它在Y中的 像f (x)使得x + f (x j为偶数，这样的映射有 个.7.给定A=1 , 2 , 3, B =1 , 0, 1和映射f ：Xt Y ,若f为单射，则f有个；若f为满射，贝U f有个；满足f f(x)=f(x 的映射有 个.8 (1)已知函数f x的定义域为0,1,求f x2 -1的定义域.(2) 已知函数f x2 -1的定义域是-1 , 1 ,求函数f x的定义域.(3) 已知函数f x的定义域为11, 3，求函数f x_1的定义域.(4) 已知函数f x的定义域是 -3, 2 ,求函数f 1_2x -f 2x 1的定义域.9. 已知f x是一次函数，且 f X |_f x沙：8x 7 求f x的解析式.10求出解析式为f x =x2 ,值域为；1 ,4?的所有函数.能力提高11. f是集合P , b , c , d , e?到集合Q二0 , 1 , 2的映射，满足f a f b f c f d f e =5的映射有多少个？12求下列函数的值域(1) 求函数y =x,2x -1的值域.

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