Sobolev空间的建立

1、Sobolev 空间一、定义：(一)弱导数的定义设u G L (Q)，对于给定的重指标a，称为u的a阶弱导数，如果存在函数 locv g L (，使得对于申g C(Q)成立loc 0J 申vdx = (-l)aij uDa申dx.QQ并记v = Dau .(二)Sobolev空间的定义：对p 1,m是非负整数，定义Sobolev空间Wm,p(Q) = Lp(Q) C I Dau g Lp(Q),la | m =C I u g Lp (Q), Dau g Lp (Q),I a | m 在Wm, p (Q)中引入范数制 =m, p ,Q(J工IQ la|m max | |Da u、lalmI Dau I p dx) p = ( 工 |Da u|Ia I mp )p,1 p gp ,QF面证明Wm,p (Q)按范数闊Im, p ,Q(JEQ lalm max IDa u、lalm1l Da u l p dx) p = (Z| Da u|Ia I mlp )p,1 p gp ,Q是赋范空间.(i)非负性:当 1 p 0,QIaIm且 I”= 0 o (J 工 I Dau Ip dx) p =

2、0 o Dau = 0 对任意 I a l m 均成立 o u = 0 ；m, pIa I 0,lalmgm, p且 |U = 0 o max |dU| - 0 o Du = 0 对任意 I a l m 均成立 o u 二 0 ；m, pla I m齐次性：当 1 p时，任意 u G Wm,p (0) , P G K，有IPui = (J 工 I Da (Pu) Ip dx) p = P (J 工0 0Ia I m丄I Dau Ip dx) p = P lull ；lalm当p = g时，任意u g Wm, p (,Pg K，有|Pui = max |Da (Pu )| = p max |Da1 = P |u| ；Ia I mIa Im(iii)三角不等式性:当 1 p g 时，任意 u G Wm, p (0) , v G Wm, p (0)，有|u + v = (J 工 I Da (u + v) Ip dx) p = (J 工 (I Dau Ip + I Da v Ip dx) p0Ia I m0Ia I m (J 工 I Da u Ip dx) p + (J 工 I Dav Ip

3、dx) p = lull + |v| ；0 IaIm0 Ia I m当 p = g 时，任意 u G Wm,p (0) , v G Wm,p (0)，有|u + v| = max | |Da (u + v )| = max |Ia I mIaImDa u + Da v| max Da u| + max | Da vIa I mIa I m所以，Sobolev空间Wm,p(0)是一个赋范空间.二、Sobolev空间的主要性质:一)完备性： W m, p (0) 是 Banach 空间.证明只要证明Wm,p (0)是完备的.任取Wm,p(0)中的Cauchy序列J，贝聊T 0(k,j T g).m, p=IMI + H -fk-j =(纠Da (fk- f LI):j LpIa I mj LpIaIm|Da f - Da fk即 D f | a | m)是Lp (0)中的Cauch列，由Lp (0)的完备性知，存在jga G Lp (0)(1 a | m)，使得 Da f Tga , j T 8 .j11在弱收敛的意义下，Daf T ga，即对任意9 G Lp(0)( +二1)，有 jp

4、qJ Da f 申dx T J g a申dx( j T 8).0 j 0特别对任意9 G C8 (0)，0有J Da f9dx T J ga9dx( j T 8) .0 j 0这是因为| J Da f 9dx T J g a9dx |0 j 0 J I Da f - g a | - | 申 | dx0j |9T 0 (应用Holder不等式)LplJ f pdx T J g opdx J fpdx.0 j 0 0在利用弱导数的定义得，对于任意9 G C8(0), j T 8时有0J Da f 9dx = (-1)a J f Da9dx0 j 0 jT (-1)ai J f Da9dx = J Da f qdx.00即当j T8时，Daf在Lp(0)内弱收敛于Daf，记成j弱收敛Da f乂攻 T Da f (Lp (0)j由极限的唯一性，得Daf二ga G Lp (0) (I a m)且Da f TDa f(Lp(0) (jT8). j这就说明，若f I是Wm,p(0)中的Cauchy序列，则必存在f g Wm,p(0)，使得jf T f(Wm,p(0)(jT8).j即，Wm,p (0)

5、是完备的.从而Wm,p ( 是Banach空间.(二)可分性：当1 p g时，Wm, p (0)是可分的.证明 只要证明当1 p ,1 x l.k丨k丨设P表示所有有理数多项式全体，P = f I f G P丿，P = U P， kk0kk =1则P在Lp (0)中稠密.事实上，对f g Lp (0)，任意的 0，由C (0)在Lp (0)中 0稠密知，存在g G C (，使得0llf -創 p 2 lp( 0)2另外容易看出， C (0)= Us C (0 ).00 kk=1故g属于某个C (0 )，利用weierstrass定理知，P在C (0 )中稠密，也就是说,0m丄存在hg P，使得I g hI 10 I-p，2m因为 0 有界，故有mII ghIILp(0)0mII f -hII .Lp(0)其中，h g P 二 Us P .k=1 k这就说明P在Lp(0)中稠密，且 P 是一 个可列集，因而 n qP = PxPx.xP是1(Lp(0)q可列的稠密集，即(Lp(0)q(1 p 是可分的，从而Wm,p(0)也是可分的.(三)自反性:设1 P 5，则Wm,p (0)是自反空间

6、.三、Sobolev空间的嵌入定理：(一)设 0 具有锥性质0k表示0与Rn中一上k维平面的交集，1 k n , m为正整数，j为非负整数，1 p 5，则有下列嵌入关系npn - mp情形A假设mp n且n - mp k n贝UW m,p (0) 一 Lq (0)， p q W j+m, p (0) I W j,q (0) ，npp q n-mpW j+m,p(0) I W j,q(0k) ，kpp q n-mp情形B假设mp二n，则对1 k W j ,q (0 k)， p q g 特别W m, p (0) I Lq (0)， p q n，则W j+m,p (0) I C j (0).B(二)设 0 具有强局部 Lipschitz 性质情形C假设mp n (m -1)p，贝UW j+m,p (0) I Cj,a (0)，情形C假设n = (m -1)p，则W j+m,p (0) Cj,a(0) , 0 a 1.若p = 1, n = m -1，则上式对a二1也成立.四、建立 Sobolev 空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有 相当一部分在古典理论上是不存在解的 . 但实际背景表明，它们是存在唯一解 的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问 题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个 Sobolev 空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新 的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是 相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积 法，它们的理论基础就是广义函数与 Sobolev 空间. 它们都是利用守恒原理，在 偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个 变分问题，再在某个Sobolev空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分 问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程 理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.

《Sobolev空间的建立》由会员新**分享，可在线阅读，更多相关《Sobolev空间的建立》请在金锄头文库上搜索。