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二重积分的应用

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文档编号：496448280

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1、9.3 二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该措施需满足如下条件:1、所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域提成许多小闭区域时, 所求量相应地提成许多部分量，且)。2、在内任取一种直径充足小的小闭区域时, 相应的部分量可近似地表达为，其中, 称为所求量的元素，并记作。(注：的选择原则为: 是直径趋于零时较更高阶的无穷小量)3、所求量可表达到积分形式一、曲面的面积设曲面由方程给出，为曲面在面上的投影区域,函数在上具有持续偏导数和,现计算曲面的面积。在闭区域上任取始终径很小的闭区域(它的面积也记作），在内取一点,相应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。以社区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面, 该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。曲面在点处的法线向量( 指向朝上的那个）为它与轴正向所成夹角的方向余弦为而因此这就是曲面的面积元素, 故故【例1】求球面含在柱面() 内部的面积。解:所求曲面在面的投影区域曲面方程应取为 ,则, 曲面在面上的投影区域为据曲面的对称性，有若

2、曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有或二、平面薄片的重心1、平面上的质点系的重心其质点系的重心坐标为,2、平面薄片的重心设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上持续，如何拟定该薄片的重心坐标。这就是力矩元素,于是又平面薄片的总质量从而,薄片的重心坐标为特别地，如果薄片是均匀的,即面密度为常量，则十分显然,这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆,()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心）。解:由的对称性可知: 而故三、平面薄片的转动惯量1、平面质点系对坐标轴的转动惯量设平面上有个质点，它们分别位于点处, 质量分别为。设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有一薄片,占有面上的闭区域，在点处的面密度为, 假定在上持续。现规定该薄片对于轴、轴的转动惯量，。与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数）对于直线的转动惯量。解: 转动惯量元素为四、平面薄片对质点的引力设有一平面薄片，占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上持续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为故

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