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新编【创新设计】高考数学北师大版一轮训练：第8篇第7讲双曲线

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常见问题

1、第7讲双曲线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(20xx汉中模拟)设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4B8C24D48解析由可解得又由|F1F2|10可得PF1F2是直角三角形，则SPF1F2|PF1|PF2|24.答案C2(20xx湖北卷)已知0，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等B虚轴长相等C离心率相等D焦距相等解析0，sin cos .由双曲线C1：1知实轴长为2sin ，虚轴长为2cos ，焦距为2，离心率为.由双曲线C2：1知实轴长为2cos ，虚轴长为2sin ，焦距为2，离心率为.答案D3(20xx日照二模)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与圆x2y210x0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1D.1解析由题意知圆心坐标为(5,0)，即c5，又e，a25，b220，双曲线的标准方程为1.答案A4(20xx北京卷)双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是()AmBm1Cm1Dm2解析在双曲线x21中，a1，b，则c，离心率e，

2、解得m1.答案C5(20xx成都模拟)已知双曲线的方程为1(a0，b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为()A.B.CD.解析不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为yx，即bxay0.则焦点到渐近线的距离为c，即bc，从而b2c2c2a2，所以c2a2，即e2，所以离心率e.答案A二、填空题6(20xx宝鸡模拟)已知双曲线x2ky21的一个焦点是(，0)，则其离心率为_解析由已知，得a1，c.e.答案7(20xx广州一模)已知双曲线1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为_解析由题意得c，所以9ac213，所以a4.即双曲线方程为1，所以双曲线的渐近线为2x3y0.答案2x3y08(20xx武汉诊断)已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，椭圆1的焦距等于4，则n_.解析因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1，所以椭圆方程为x21，且n0，椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)答案5三、解答题9已知椭圆D：1与圆M：x

3、2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线G的方程为1.10中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解(1)由已知：c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(20xx西工大附中模拟)直线yx与双曲线C：1(a0，b0)左右两

4、支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|MO|，则双曲线的离心率等于()A.B.1C1D2解析由题意知|MO|NO|FO|，MFN为直角三角形，且MFN90，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形又MFN90，四边形NFMF0为矩形，|MN|F0F|2c，又直线MN的倾斜角为60，即NOF60，NMF30，|NF|MF0|c，|MF|c，由双曲线定义知|MF|MF0|cc2a，e1.答案B2(20xx赣州模拟)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2)B(，2)C(，2)D(2,3)解析由题意知，ABE为等腰三角形若ABE是锐角三角形，则只需要AEB为锐角根据对称性，只要AEF即可直线AB的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点A，则|AF|，|EF|ac，只要|AF|EF|就能使AEF，即ac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，即1e1，故1e2.答案A二

5、、填空题3.如图，双曲线1(a，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则 (1)双曲线的离心率e_；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_.解析(1)由B2OF2的面积可得a bc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.(2)设B2F1O，则sin ，cos ， e2.答案(1)(2)三、解答题4(20xx湛江二模)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解(1)双曲线的渐近线为yx，ab，c2a2b22a24，a2b22，双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足()1，x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程，得3yyc2，即y0c，x0c，点A的坐标为，代入双曲线方程，得1，即b2c2a2c2a2b2，又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0，e1，e.双曲线的离心率为.

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