(word完整版)高中三角函数最值问题难题
13页1、高中三角函数最值问题难题一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题例1:求函数的最值分析:解决本题时要注意三角函数值的符号规律,分四个象限讨论。解: (1)当在第一象限时,有 (2)当在第二象限时,有 (3)当在第三象限时,有(4)当在第四象限时,综上可得此函数的最大值为4,最小值为-2. 二、直接应用三角函数的有界性()解题例1:(2003北京春季高考试题)设和分别表示函数的最大值和最小值,则等于( ) (A)(B)(C) (D)-2解析:由于的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数的最大值与最小值分别为,即+()=-2,选D.例2:求的最值(值域)分析:此式是关于的函数式,通过对式子变形使出现的形式,再根据来求解。解:,即有。因为,所以即即,所以原函数的最大值是,最小值是。 三、利用数形结合例:求的最大值与最小值解析:此题除了利用三角函数的有界性求解外,还可根据函数式的特点,联想到斜率公式将原式中的看作是定点与动点连线的斜率,而动点满足单位圆,如上图所示。所以问题可转化为求定点到单位圆相切时取得的最值,由点到直线的距离得: ,四、利用三角函数的单调性法例1:(1996全
2、国高考试题)当,函数的最值(A)最大值是1,最小值是1(B)最大值是1,最小值是(C)最大值是2,最小值是2 (D)最大值是2,最小值是1,因为,所以,当时,函数有最小值 1,最大值2,选择D例2:求的最值及对应的集合分析:观察式子可知它并不能直接求出,须通过变形为,但也不符合用平均不等式求,考虑用单调性。解答:令,则,且设=上单调递增,所以当时, ,此时,当时,此时,五、可化为一次函数,的条件极值的三角函数式极值求法例1:求函数 的极值分析:由,上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题,即求, ,其中,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。解: 1)当时, ; 2)当时, ;说例2:求函数的最值,其中。 分析:在这里不能将它变形为关于或为未知数的二次式,所于只有考虑将它降为一次,此时根据正弦、余弦的二倍角公式即,然后代入化简得到即可求出。解:因为 其中,且,在这里六、可化为二次函数的条件极值的三角函数式的最值求法。例1:求函数最值分析:因为故求的最值,实质上是求以为自变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。即当设=时,变为在约束条件的条件极值。解:因为当当。七、换元法例1:
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