毕业设计（论文）-数学归纳法及其运用

1、自学考试本科毕业论文论文题目：数学归纳法及其运用 学校名称：桂林师范高等专科学校专业名称：数学教育准考证号： 030114300393姓 名： 指导教师： 目录内容摘要一、 数学归纳法的由来（一）数学归纳法的概念（二）数学归纳法的命名（三）归纳法的证明二、数学归纳法的步骤三、数学归纳法的几种形式（一）第一数学归纳法（二）第二数学归纳法（三）倒推归纳法（四）跳跃归纳法（五）螺旋式归纳法四、数学归纳法的应用（一）数学归纳法在生物方面的应用（二）数学归纳法在初等数学方面的应用（三）数学归纳法在几何方面的应用五、数学归纳法的变体（一）从0以外的数字开始（二）针对偶数与奇数（三）递归归纳法六、数学归纳法常见误区及注意（一）易错例题（二）数学归纳法需注意文献参考数学归纳法及其应用班级:数学教育2班 姓名:何东萍 指导老师：李政 【内容摘要】本文讲述了数学归纳法的历史由来和理论原理，通过数学归纳法的基本形式的学习和理解，用相应实例进行解析说明数学归纳法在各方面的具体应用。最后总结了数学归纳法的常见误区和应用技巧，并对未来发展的场景作出了预测。在中学数学的过程中，有一种很常见并且很基本的数学方法数学归

2、纳法。对于数学归纳法，人们常常有这样的疑问:数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要用这样的规定格式？数学归纳法的应用前景会如何？【关键词】 数学归纳法；归纳法的分类；归纳法的应用； 一、数学归纳法的由来在最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系证明出前n个奇数的总和是n2，数学归纳法之谜便由此解开。（一）数学归纳法的概念 数学归纳法有这么一个典型的例子：如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么第一张骨牌将倒下，其中某一个骨牌倒了，与其相邻的下一个骨牌也会倒，所以我们可以由此推断出所有的的骨牌都将要倒。也就能确定出这么一种递推关系，只要能够满足这两个条件就会导致所有骨牌全都倒下，用数学的方式可以简述为:（1）第一块骨牌倒下； （2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。这样，无论有多少骨牌,只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。关于数学归纳法，新教材是这样描述的:“从特殊的事例推出一般原理的推理方法叫做归纳法”。数学归纳法，是用来证明某

3、些与自然数有关的命题的一种推理方法。其既具有演绎法的特征，又具有归纳的特征，它是一种归纳公理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明法。（二）数学归纳法的命名从表面上来看，数学归纳法似乎是属于归纳推理，事实上却不是。因为:数学归纳法的证明过程，可以得出它总体上是由两个部分所组成的，第一是得出P（1）为真，且P（k）到P（k+1）；第二是k=1，2，3，由其一得出对所有自然数n，P（n）都是成立的。这两个部分完成了用有限步来证明对无限多个数值都有命题P（n）为真的结论。证明之所以成立是因为阿皮诺公理中的归纳原理。由此可见，数学归纳法是属于演绎。数学归纳法是演绎推理，这岂不是与其名称中有“归纳”二字想矛盾吗？一个方面，从证明中涉及自然数n的角度看，证明第（1）步是针对n=1进行的，这里的1是特殊的数，所以这一步是对特殊对象进行讨论的；第（2）步是以“n=k时命题成立”为出发点，以此来推导出“n=k+1时命题也成立”，k是代表从“n=k到n=k+1”的一般性递推。证明中对n的讨论顺序是“先特殊，后一般”，符合“由易到难，由简到繁”的证明思路，同时也反映了人们发现规律的一般过程。另一个方面，

4、人们经历了无数次特殊的、具体的验证性实践后，总结出正整数集合的元素具有无穷次递推的后继关系，并概括了这种规律，得出了正整数的公理。当然，实验中的“验证发现想象”对数学归纳法原理的产生是功不可没的，如果没有验证性的探索和归纳，就没有对后继数及其间包含递归关系的一般性认识，也就没有数学归纳法原理的产生。数学归纳法所完成的认识过程中经历了两千多年的坎坷发展，直到十九世纪才获得“数学归纳法”这一美称。（三）归纳法的证明 既然数学归纳法（mathematical induction）是一种重要的数学证明方法，我们利用它证明某些命题对于一切正整数的成立。正整数是人类最早认识的数，它看似是最简单的数，但是由于其具有无限性的特征，在数学中严格地描述正整数集合并不简单。大家都知道的，正整数1，2，3，有无穷多个，数学归纳法用两个步骤是怎么完成对于这无穷多个情况的的证明呢？如果一个数、一个数地去研究关于正整数的问题，那么解决问题是非常困难的，探究如何对正整数集合进行整体性描述。在这方面德国数学家康托尔（G. Cantor，1845-1918）和意大利数学家皮亚诺（G. Peano,1858-1932）分别

5、从基数和序数的角度作出重要贡献。皮亚诺是研究数理逻辑和数学基础的先驱，1891年他对正整数的有序性给出了严格刻画，也就是现在的皮亚诺公理。用现代的数学语言和符号可以把这些公理的意义简述如下：1是一个正整数。每个正整数a都有一个后继数(a+1)也是正整数。1不是任何正整数的后继数。若a与b的后继数相等，则a与b相等。设S是正整数集合N*的子集，若（1）1属于S；（2）当k属于S时，k的后继数（k+1）一定有也属于S，则S= N*。这几条公理反映了正整数集合有序性的本质特征，我们主要注重公理，公理也称为数学归纳法原理，它给出了证明一个集合是正整数集合的方法，是数学归纳法的理论基础。简单的说数学归纳法，其实是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，是主要用来研究与正整数有关的数学问题，在中学数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。二、数学归纳法的步骤一般地，数学归纳法证明“命题P对于全体正整数成立”的步骤为：（1）证明P对于1成立；（2）证明“若P对于k成立，则P对于k+1成立”。当完成（1）(2)之后，即可推出：P对于全体正整数都成立。数学归纳法的一般步骤为:假设有一个与正整数有

6、关的命题P（n）。（1）当n=1时，命题成立。（2）假设n=k时，命题成立。借用n=k命题成立，推出n=k+1，该命题也成立。即这个命题对于一切正整数n都成立。三、数学归纳法的几种形式（一）第一数学归纳法在教学书中讲的数学归纳法，我们一般称为第一数学归纳法。其步骤为:假设有一个与正整数有关的命题P（n）。（1）当n=1时，命题成立。（2）假设n=k时，命题成立。借用n=k命题成立，推出n=k+1，该命题也成立。即这个命题对于一切正整数n都成立。这种方法的原理在于论证第一步是证明命题在n=1成立，这是递推的基础；第二步假设在n=k时命题成立，在证明k=n+1时命题成立，这是无限递推的理论依据，即可判断命题的成立是否能够从特殊推广到一般。定理的证明我们用反证法来进行对第一数学归纳法证明，对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于一切的正整数都是成立的。对于那些不成立的数所构成的集合Q其中必定有一个最小的元素a。因为命题对n=1是成立的，所以a不等于1， a1，从而可得a-1是正整数。又因为a已经是集合Q中的最小元素了，所以a-1是不属于Q，当n= a-1时，命题是成立的，

7、既然对于a-1成立，那么也对a也应该成立，这与我们的假设矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。证明完毕。（二）第二数学归纳法当递推要涉及到小于k的时候，第一归纳法就要给第二数学归纳法让道了，第二数学归纳法与第一数学归纳法的区别在于证明第二步，前者比后者能够更好的利用前面的命题所提供的条件，所以有些命题运用第二数学归纳法进行证明更为方便。第二数学归纳法的步骤为:设P（n）是关于自然数的命题，（1）设P（n）在n=1时命题成立，（2）假设对于所有小于或等于k的自然数n，（kN*，k1）命题P（n）成立，即可推出P（n+1）也成立；即性质P（n）对于一切自然数n都成立。（三）倒推归纳法倒推归纳法也叫反向归纳法，倒推归纳法是由于在归纳递推运用反方向递推而得名的。倒推归纳法是数学家柯西最先使用它证明了n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。其步骤为：设P（n）是一个与自然数有关的命题。（1）验证对无穷多个自然数n命题P（n）成立，（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2k，k1）。（2）假设P（k+1）（k）成立，并在此基础上，推出P（

8、k）成立， 即命题P（n）对一切自然数n（）都成立。定理的证明：同样的，我们用反证法来进行证明。假设该命题不是对于一切正整数都是成立的，令M表示使命题不成立正整数的集合，那么M0，任取mM由条件（1）可知，必有正整数nm使得P（n）成立，由这样的正整数n构成的集合为N。由集合M0可知，必有最小的正整数a，显然，a1，由条件（3）得，P（a-1）成立，由a的取值得m-1a，但这与a是M中最小正整数矛盾。即假设不成立，原命题成立。定理证毕。（四）跳跃归纳法若命题中出现“间隔”时，我们不能简单的证明“k+1”了，若P(n)对自然数1，2，n都是正确的命题，设n=k时，假设命题P(k)成立，可以推出P (k+l)成立，则P(n)对一切自然数n都成立。（五）螺旋式归纳法当有一些与自然数难以通过上面的数学归纳法来进行证明时，可以根据具体的情形加强命题，设计一个更具有一般性的新命题，通过对新命题证明来确定原命题的正确性。其形式为:设有两个与自然有关的命题P（n），Q（n）， （1）验证n=时P（n）成立； （2）假设P（k）（kno）成立，可以推出Q（k）成立，假设 Q（k）成立，可以推出 P(k+

9、1）成立； 即命题对一切自然数n（），P（n），Q（n）都成立。四、数学归纳法的应用（一）数学在生物方面的应用例1：某生产队科学实验小组决定研究n（n2）种害虫之间的关系，然后想去消灭它们，经实验，他们发现其中，任意两种总有一种吞食另一种，试证明可把此n种害虫排成一行，使得前一种可吞食后一种。证明：假设（=1，2，）表示第i种害虫，将它们排成，其中前一种可吞食后一种，用表示可吞食，（1）当时，命题成立。（2）设时，（），命题成立，现在我们考虑的情况，在的情形里，我们再加入一种害虫。（我们将种害虫分为两组，k种害虫为第一一组，剩下的一种害虫为第二组，由假设得，第一组k种害虫可排列成，使得一种可吞食后一种，再将第二组的一种记为加入。）有两种情况：1 若则可将放在前面，即有。命题成立。2 若，再将与放在一起比较，若，可将放在前面，这时有，即命题成立，若将重复往下比较，经过有限次（k次）必有下列情形之一，问题解决。否则即置于之后，此时，必有命题成立。综上所述，命题对成立。从而对任意的自然数()成立。（二）数学归纳法在初等数学方面的应用例2：证明 能够被6 整除（1）当时，能够被6整除，命题成立。（2）假设时，命题成立；即能够被6整除。当时，有因为两个连续的数的乘积是偶数，所以能够被6整除。即能够被6整除，即时，命题成立。证明完毕。（三）数学归纳法在几何方面的应用例3：用数学归纳法证明：凸n边形中的n个内角和等于（n-2）。证明：

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