奥数几何三角形五大模型带解析

1、.WORD格式整理.专业.知识.分享.三角形五大模型2本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识,旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力重点模型重温AB一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;C D两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比;如右图Si ：& =a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SACD = SBCD ；反之，如果Saacd =Sa BCD，则可知直线平行于CD . 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.、等分点结论（“鸟头定理”）2 11如图三角形AED占三角形ABC面积的-X-=-三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) Si : S2=S 4 : S3 或者 Si XS3=S 2 XS4 AO : OC= (S1+S2) : ( S4+S3)梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) Si : S3=a 2 : b2 Si : S3 :

2、 S2 : S4= a2 : b2 : ab : ab ; S的对应份数为(a+b ) 2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1) 相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。(2) 判断相似的方法： 两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似； 两个三角形若有两条边对应成比例， 且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。A BcC Si : S2=a 2 : A2模型五：燕尾定理SBG : SGC = SBGE: SA3EC= BE: EC;SBGA : SBGC = SGF: SA3FC = AF: FC;SGC : SBCG = SDG : SQGB = AD : DB ;1模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级丿如图，长方形 ABCD的面积是56平方厘米，点 E、F、G分别 是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影 部分的面积【例2】（难度等级丿如右图，ABFE和 CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的

3、长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.【例3】（难度等级丿如图，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为 AB和AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级丿如图，在面积为 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长 CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。【例5（难度等级丿如右图BE= BC, CD= AC,那么三角形AED的面积是三角形 ABC面积的几分之几?G【例6】（难度等级丿如图所示，四边形 ABCD与 AEGF都是平行四边形，请你证明 它们的面积相等.【例7 （难度等级丿如图，在长方形 ABCD中, Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果 AB=24厘米，BC=8厘米,A求三角形ZCY的面积.【例8（难度等级如图，正方形 ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行, 的面积是7平方厘米，求 EG的长。【例10】（难度等级丿如图已知四边形 ABCD和CEFG都是正方形，且正方形 ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形 BFD的面积为多少平方厘米 ？【例11】（难度等级丿如图，一个长方形被切

4、成 8块，其中三块的面积分别为 12，23, 32,则图中阴影部分的面积为？【例12 （难度等级如图，平行四边形 ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16 厘米。求平行四边形 ABCD的面积。【例13】（难度等级探）如右图，正方形 ABCD的边长为6厘米， ABE ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形 AEF的面积.【例14】（难度等级探）如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4 BE=3, AE=6甲部分面积是乙部分面积的几分之DFED几？【例15】（难度等级M）D某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线AC BD分成四个部分， AOB面积为1平方 千米， BOC面积为2平方千米， COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例16 （难度等级丿图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积 是多少平方厘米？叨【作业1. 如图，三角形 ABC中，DC =2BD , CE =3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形 ABC的面积是多少？ADBC2.

5、 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积 分别是13, 35, 49那么图中阴影部分的面积是多少?3. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4厘米, 求三角形ABC的面积。4. 如图，平行四边形 ABCD BE=AB CF=2CB GD=3DCHA=4AD平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.E15. 如图，在厶ABC中，延长BD=AB CE=BC, F是AC的中点， 2若厶ABC的面积是2，则 DEF的面积是多少？F【例1】（难度等级丿如图，长方形 ABCD的面积是56平方厘米，点 E、F、G分别是长方形 ABCD边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积 .【分析与解】 如右图，连接BH、HC，由E、F、G分别为AB、BC、 CD 三边的中点有 AE=EB、BF=FC、CG= CD.因此S仁S2，S3= S4，S5= S6,而阴影部分面积 = S2+ S3+ S6，空白部分面积=S1+ S4+ S5.所以阴影部 分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴 影部分面积为28.【例2】（难度等级M）如

6、右图，ABFE和CDEF都是矩形,厘米，那么图中阴影部分的面积是AB的长是4厘米,平方厘米.BC的长是3上排4个阴影三角形的高都等于BF，底边之和恰好为 AB，他们的面积之和为1 BF AB ;下排4个三角形的高都等于2CF，底边之和恰好为 CD，他们的【分析与解】面积1 1之和为一CF CD CF AB.所以阴影部分面积为：2 21111BF AB CF AB BC AB 3 4=6（平方厘米）.2 2 2 2【例3】（难度等级丿S ABC二6平方厘米.4如图，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为 AB和AC的中点，那么三角形 EBF的面积是多少平方厘米？【分析与解】1首先，Sabc BC AD =24平方厘米，而F是AC中点，21 1所以S.ABF石Sabc.又E是AB中点，所以SS ABF【例4】（难度等级丿如图，在面积为 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长 CF交AB边于E,求三角 形AEF和三角形CDF的面积之和。【分析与解】连接DE,于是三角形AEF的面积=三角形EFD的面积，所求被转化为三角形 EDC的面积。 因为F是AD中点

7、，所以三角形 AEC的面积和三角形 EDC的面积相等，设 S厶BDE为1份，则S二AEC=S丄EDC为3份 因此S厶ABC 一共7份,13每份面积为所以S EDC占3份为一。77【例5 (难度等级如右图BE= BC, CD= AC,那么三角形AED的面积是三角形 ABC面积的几分之几?Sabc又由于三角形 AED与三角形 AEC的高相等，而 CD= 1 AC,于是43 AD= AC,4Saed3Saec4所以，三角形AED3 3的面积=X三角形AEC的面积=-4 4三角形ABC的面积=丄X三角形ABC的面积2【例6 (难度等级丿如图所示，四边形 ABCD与 AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.【分析与解连接BE显然有S Abe_1S ABE 二？ SAEGFAX2X 3DCEA/AC/lD1BBEC所以 SABCD - SaegF【例7 (难度等级丿如图，在长方形 ABCD中, Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果 求三角形ZCY的面积.【分析与解Sabcd = AB BC =192 平方厘米因为Y是BD中点，Z是DY中点，所以1 11 1 11S ZCY ( S.Cdb)

8、 ( Sabcd )Sabcd = 242 22 2 28AB=24厘米，BC=8厘米,C【分析与解 上图中，三角形 AEC与三角形ABC的高相等，而BE= BC ,于是EC= BC, AEC【例8 （难度等级如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行, 的面积是7平方厘米，求 EG的长。【分析与解11XEGXAE +XEGXEB = 7 平方厘米221即一XEGXAB=7平方厘米；EG=3.5厘米2【例10 （难度等级丿如图已知四边形 ABCD和CEFG都是正方形，且正方形 ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形 BFD的面积为多少平方厘米？AEB【分析与解连接CF由ABCD和CEFG都是正方形有 BDC = - DCF =45所以 bdLIcf .由平行线间距离相等知三角形BDF和三角形BDC同底等高所以 S BFD - S BCD-1S_ SABCD2-50【例11 （难度等级丿如图，一个长方形被切成 8块，其中三块的面积分别为 12, 23, 32,则图中阴影部分的面积为？【分析与解如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12 x=67.【例12 （难度等级如图，平行四边形 ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16 厘米。求平行四边形 ABCD的面积。【分析与解14 ,BC X14=CD X16 , BC : CD=16757516BC+CD= , BC= X=202216+14ABCD面积=14 X2

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