新编高考数学复习:第八章 :第八节曲线与方程突破热点题型
8页1、新编高考数学复习资料第八节圆锥曲线的综合问题 考点一圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题 例1(2013新课标全国卷)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:1 (ab0)右焦点的直线xy0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值自主解答(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则1,1,1,由此可得1.因为x1x22x0,y1y22y0,所以a22b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2b23.因此a26,b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn,设C(x3,y3),D(x4,y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.来源:因为直线CD的斜率为1,所以|CD|x4x3|.由已知,四边形ACBD的面积S|CD|AB|.当n0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.【互动探究】若本例的条件不变,则四边形ACBD的面积有最小值吗?若有,求出其值;若没有,说明理由解:由(2)可知3x24
2、nx2n260,又yxn与椭圆1相交,(4n)243(2n26)8(9n2)0,即3n3,0n29,而SACBD,01),试求的取值范围解:(1)设动圆圆心C的坐标为(x,y),圆心C到直线l0的距离为d,由题意可知|CA|d,故由抛物线的定义可知动圆圆心C的轨迹D的方程为y24x.(2)易知曲线E的方程为y24x(x4),显然当直线l的斜率为零或不存在时不符合题意,故可设直线l的方程为ykx2(k0)设A(x1,y1),B(x2,y2),由 (1)知x1x2,且0x24,0x14.由消去y得k2x24(k1)x40,(*)则方程(*)在0,4内有两个不相等的实数根,记f(x)k2x24(k1)x4,则从而可得k.由根与系数的关系可知x1x2,x1x2.又x1x2,所以42,而k,所以0,故可得12,从而可得4,解得1或11,所以的取值范围是(1,9考点二定 点 问 题 例2(2013陕西高考)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,
3、证明直线l过定点自主解答(1)如图,设动圆圆心O1(x,y),由题意,|O1A|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点,|O1M|,又|O1A|,化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x,动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明:由题意,设直线l的方程为ykxb(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将ykxb代入y28x中,得k2x2(2bk8)xb20,其中32kb640.由根与系数的关系得,x1x2,x1x2,因为x轴是PBQ的角平分线,所以,即y1(x21)y2(x11)0,(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0,2kx1x2(kb)(x1x2)2b0,将代入,得2kb2(kb)(82bk)2k2b0,kb,此时0,直线l的方程为yk(x1),直线l过定点(1,0)【方法规律】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明
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