立体几何-线面角及线线角

1、-10.8线面角与线线角【知识网络】1、异面直线所成的角：1*围：；2求法；2、直线和平面所成的角：1定义：2*围：；3求法；3、一些常见模型中的角之间的关系。【典型例题】例1：1在正方体中，以下几种说法正确的选项是 A、 B、 C、与成角 D、与成角答案：D。解析：A1C1与AD成45，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为。2在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为A、2个 B、4个 C、6个 D、8个答案：B。解析：平面A1ACC1，平面BB1D1D，平面ABC1D1，平面A1D1CC1。3正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 A90 B60 C45 D30答案：B。解析将BC1平移到E1F即可。4在空间四边形ABCD中，ABCD，BCDA，则对角线AC与BD的位置关系是。 答案：ACBD。解析：过A作AH平面BCD，垂足为H，因为CDAB，BCAD，所以CDBH，BCDH，故H为BCD的垂心，从而BDCH，可得BDAC。5点AB到平面距离距离分别为12

2、，20，假设斜线AB与成的角，则AB的长等于_.答案：16或64。解析：分A、B在平面的同侧和异侧进展讨论。例2：如图：直三棱柱ABCA1B1C1，ABAC，F为棱BB1上一点，BFFB121，BFBC2a。I假设D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EFFC1；II试问：假设AB2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60角，为什么？证明你的结论。答案：I连结DF，DC三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，平面BB1C1C平面ABCABAC，D为BC的中点，ADBC，AD平面BB1C1CDF为EF在平面BB1C1C上的射影，在DFC1中，DF2BF2BD25a2，DC210a2，B1F25a2，DF2，DFFC1FC1EF IIAD平面BB1C1C，DFE是EF与平面BB1C1C所成的角在EDF中，假设EFD60，则EDDFtg60，ABCDP，E在DA的延长线上，而不在线段AD上故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60角。例3： 如图, 四棱锥P-ABCD的底面是AB=2, BC=的矩形, 侧面PAB是等边三角形, 且侧面P

3、AB底面ABCD.()证明:BC侧面PAB;()证明: 侧面PAD侧面PAB;()求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;答案： ()证: 侧面PAB底面ABCD, 且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, 在矩形ABCD中, BCAB，.BC侧面PAB. ()证: 在矩形ABCD中, ADBC, BC侧面PAB, AD侧面PAB. 又AD平面PAD, 侧面PAD侧面PAB.()解: 在侧面PAB内, 过点P做PEAB, 垂足为E, 连结EC, 侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, PEAB, PE底面ABCD. 于是EC为PC在底面ABCD内的射影. PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角. 在PAB和BEC中, 易求得PE=, EC=.在RtPEC中, PCE=45. 例4：设ABC内接于O，其中AB为O的直径，PA平面ABC。如图求直线PB和平面PAC所成角的大小.答案：【课内练习】1假设平面外的直线与平面所成的角为，则的取值*围是 A B C D答案：D。解析：a和平行，a和斜交。2在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM(

4、 )A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MNC 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直答案：A 。解析：易证OMAC，OMMN。3设正四棱锥SABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是 A30B45C60D90答案：C 。解析：连AC、BD交于O，连OE，则OE/SC.4异面直线a , b所成的角为，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为，这样的直线L有条。答案：三条。解析：如换成50，70呢。5三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且DPA=450，DPB=600，则DPC=_。答案：600。解析：以PD为对角线构造长方体6正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，试写出满足条件的一个截面_答案：面AD1C。解析：可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C，7如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，SBA=45，SBC=60，M为AB的中点，求：1BC与平面SAB所成的角；2SC与平面ABC所成角的正弦

5、值。解析：1SCSB，SCSA，SC平面SAB。于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角，为60。2联结SM，CM，在RtSAB中，SBA=45，SMAB，AB平面SCM。作SHCM于H，则ABSH，故SH平面ABC，所以SCH为SC与平面ABC所成的角。设SA=a，则SB=a，SC=，SM=。在RtCSM中，。即SC与平面ABC所成角的正弦值为。8如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长AB2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，求证：A1C平面BDE；求A1B与平面BDE所成角的正弦值。答案：由三垂线定理可得，A1CBD，A1CBEA1C平面BDE以DA、DC、DD1分别为*、y、z轴，建立坐标系，则，设A1C平面BDEK，由可知，A1BK为A1B与平面BDE所成角，9A是BCD所在平面外的点，BAC=CAD=DAB=60，AB=3，AC=AD=2. 求证：ABCD； 求AB与平面BCD所成角的余弦值.答案：BAC=CAD=DAB=60， AC=AD=2，AB=3， ABCABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CDAM

6、，CDBM.CD平面ABM，于是ABBD. 由CD平面ABM，则平面ABM平面BCD，这样ABM是AB与平面BCD所成的角.在ABC中，AB=3，AC=2，BAC=60，. 在ACD中，AC=AD=2，CAD=60，ACD是正三角形，AM=. 在RtBCM中，BC=，CM=1，.10等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120，DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。答案：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，则OC是PC在平面ABC内的射影，PCO是PC与面ABC所成的角。PA = PB = PC，点P在底面的射影是DABC的外心，注意到DABC为钝角三角形，点O在DABC的外部，AC = BC，O是DABC的外心，OCAB在DOBC中，OC = OB，OCB = 60，DOBC为等边三角形，OC = 2 在RtDPOC中，PCO = 60。【作业本】A组1垂直于同一条直线的两条直线一定 A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能答案：D。解析：注意空间和平面中的位置关系的不同。2是平面的斜线，与成角，与在内的射影成

7、角，则与所成角的大小为。答案：。解析：，即=。3是两两成角的三条射线,则与平面所成角的余弦值是A B C D答案：C。解析：可放入正四面中考虑。4直线与平面成角为300，则m与所成角的取值*围是。答案： 300 , 900。解析：斜线与平面内所有直线的所成角中，线面角最小角。5边长为2的正方形ABCD在平面内的射影是EFCD，如果AB与平面的距离为，则AC与平面所成角的大小是。答案：。解析：。6如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1DAN，求：(1) ；(2) 直线AD与平面ANM所成的角的正切；(3) 平面ANM与平面ABCD所成角锐角的余弦值.解析：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为*轴，y轴，z轴.则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4) (2) 由(1)知A1DAM，又由A1DAN，平面AMN，垂足为N.因此AD与平面ANM所成的角即是(3)平面ABCD，A1N平面AMN，分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。设平面AMN与平面ABCD所成的角锐角为，则PBCA7ACB=900，且在平面内，PC与CA、CB所成角PCA=PCB=600,求PC与平面所成角。PBCAEDH答案：解：如图过点P作PH平面ABC于H，过点H作HDAC于D，作HEBC于E，连PD、PE，PDAC，PEBC，PCA=PCB=600，PCDPCE，CD=CE，HCDHCE，HD=HE，CH平分ACB，设PC=aPCH=450，即PC与平面所成角为450。8.如图，正方形ACC1A1与等腰直角ACB互相垂直，ACB=90，E、F分别是AB、BC的中点， G是AA1上的点.1假设，试确定点G的位置；2在满足条件1的情况下，试求cos，的值.解析：1以C为原点，为*轴正方向，为y轴正方向，为 z轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系。令，则，设，则，由得，G为AA1的中点。2，。B组1一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是. 则这两条直线的位置关系 A必定相交 B平行 C必定异面 D不可能平行ABCDP答案：D。解析：假设平行则直线与平面的所成角必相等。2如图正四面

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