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应用导数解决一类数列求和问题优秀获奖科研论文

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1、应用导数解决一类数列求和问题优秀获奖科研论文高中引入了导数概念，给出了导数的定义，讲清楚了导数的几何意义及物理意义.在导数的应用方面也给出了一些例题，应用主要是针对解决函数的单调性、极值、最值、不等式证明等问题.但是在数列求和方面的应用基本上还没有涉及，因此我写本文来为导数的应用开辟一条新的途径. 例1数列an的通项公式为an=n2n-1（nN*），求数列an的前n项和Sn. 分析：这种问题基本上都是用错位相减法来解决. Sn=120+221+322+n2n-1（1） 2Sn=121+222+（n-1）2n-1+n2n（2）由（1）-（2）得，-Sn=1+21+22+2n-1-n2n，有Sn=1+（n-1）2n（nN*）. 注1：对于解决本类问题，错位相减法当然很好，可以说是很经典的.课改以前高中课本中没有函数的导数这样的内容，所以也不好给学生讲导数法，但是今天的高中新课本中已经有导数的内容，这样的问题当然可以用导数法来求解.这样，一方面顺应了新课改的需要，另一方面培养了学生的创新思维，也满足了素质教育的要求. 导数法：令f（x）=x+x2+x3+xn（x0，x1）， f（x）=1

2、x0+2x1+3x2+nxn-1，所以Sn=f（2）， f（x）=x+x2+x3+xn=x（1-xn）1-x. 因为f（x）=1-（n+1）xn（1-x）+（x-xn+1）（1-x）2，所以Sn=f（2）=1+（n-1）2n. 定理1：数列an的通项公式an=npn-1（p0，p1，nN*），其前n项和为Sn，则Sn=1+（p-1）n-1pn（1-p）2. 证明：令f（x）=x+x2+x3+xn（x0，x1）， f（x）=1x0+2x1+3x2+nxn-1，所以Sn=f（p）， f（x）=x+x2+x3+xn=x（1-xn）1-x（x1）. 由f（x）=1-（n+1）xn（1-x）+（x-xn+1）（1-x）2 得Sn=f（p）=1+（p-1）n-1pn（1-p）2（p1），证毕. 例2数列（an）的通项公式an=An+B（A，B是常数），数列bn的通项公式为bn=rsn-1（rs0），令cn=anbn（nN*），求数列cn前n项和Tn. 分析：（1）若s=1，bn=r，cn=anbn=（An+B）r=Arn+Br， Tn=Ar+Br+Arn+Br2n=Ar2n2+Ar+2Br

3、2n （2）若s1，cn=anbn=（An+B）（rsn-1）=Arnsn-1+Brsn-1. 令dn=Arnsn-1，tn=Brsn-1，cn=dn+tn，有Mn=ni=1di，Rn=ni=1ti，Tn=Mn+Rn. Rn=ni=1ti=Br（1-sn）1-s（s1），Mn=ni=1di=Ar1+（s-1）n-1sn（1-s）2. 所以Tn=Mn+Rn=Br（1-sn）1-s+Ar1+（s-1）n-1sn（1-s）2. 定理2：数列cn的通项公式cn=（An+B）rsn-1（Ars0，s1），则数列（cn）前n项和为Tn=Br（1-sn）1-s+Ar1+（s-1）n-1sn（1-s）2. 注2：本方法可以取代高中学习的错位相减法，同时展现了导数的优越性.导数作为高等数学的基础之一，是一种重要的数学工具，教师在学习的时候应该有一些自己的思考，打破常规，创新思考，为能培养出一批优秀的人才贡献自己的一份微薄之力.要想学生学会创新，教师就应该带头创新. 定理3：数列cn的通项公式cn=n2xn（x0，x1，nN*），则数列cn前n项和Tn=g（x）=x（x-1）3n2xn+2-（2n2+2n-1）xn+1+（n+1）2xn-x-1. 注3：用定理3，可以求出数列（An+B）rsn-1（其中Ars0，r1）的前n项和Tn，数列cn的通项公式cn=anbn（nN*），an是等差数列，bn是等比数列.这类问题在高中阶段一般用错位相减法解决.读者只要对定理3的理解到位了，那么解决数列（An2+Bn+C）xn（A，B，CR）的求和问题也就不难了.作差一次等价于一次求导，作差两次就等价于求导两次，以此类推，我们可以求出数列（anxn+an-1xn-1+a1x+a0）qn，其中（an，an-1，a1，a0，qR，q0）的前n项和.

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