LTI线性系统 MATLAB 应用

1、实验二LTI 系统的响应一、实验目的1. 熟悉连续时间系统的单位冲激响应、阶跃响应的意义及求解方法2. 熟悉连续(离散)时间系统在任意信号激励下响应的求解方法3. 熟悉应用MATLAB实现求解系统响应的方法二、实验原理1. 连续时间系统对于连续的LTI系统，当系统输入为f(t),输出为y(t),则输入与输出之间满足如 工 a y(i)(t)二区 b f( j)(t)下的线性常系数微分方程：匸 冋j，当系统输入为单位冲激信号6 (t)时产生的零状态响应称为系统的单位冲激响应，用h(t)表示。若输入为单位 阶跃信号 (t)时，系统产生的零状态响应则称为系统的单位阶跃响应，记为g(t)， 如下图所示。系统的单位冲激响应h(t)包含了系统的固有特性，它是由系统本身的结构及参数所 决定的，与系统的输入无关。我们只要知道了系统的冲激响应，即可求得系统在不 同激励下产生的响应。因此，求解系统的冲激响应h(t)对我们进行连续系统的分析 具有非常重要的意义。在 MATLAB 中有专门用于求解连续系统冲激响应和阶跃响应， 并绘制其时域波形的 函数impulse()和step()。如果系统输入为f(t)，冲

2、激响应为h(t)，系统的零 状态响应为y(t),则有：y(t)= h(t)* f (t)。若已知系统的输入信号及初始状态，我们便可以用微分方程的经典时域求解方法， 求出系统的响应。但是对于高阶系统，手工计算这一问题的过程非常困难和繁琐。 在MATLAB中，应用lsim()函数很容易就能对上述微分方程所描述的系统的响应进 行仿真，求出系统在任意激励信号作用下的响应。lsim()函数不仅能够求出连续系 统在指定的任意时间范围内系统响应的数值解，而且还能同时绘制出系统响应的时 域波形图。以上各函数的调用格式如下： impulse( ) 函数函数impulse()将绘制出由向量a和b所表示的连续系统在指定时间范围内的单位 冲激响应h(t)的时域波形图，并能求出指定时间范围内冲激响应的数值解 impulse(b,a)以默认方式绘出由向量a和b所定义的连统的冲激响应的时域波形。impulse(b,a , tO)绘出由向量a和b所定义的连续系统在0 tO时间范围内冲激响应的时域波 形。impulse(b,a ,t l:p: t2)绘出由向量a和b所定义的连续系统在 t1 t2 时间范围内，并且以时间

3、间隔 p 均匀取样的冲激响应的时域波形。y=impulse(b,a,t1:p:t2) 只求出由向量 a 和 b 所定义的连续系统在 t1 t2时间范围内，并且以时间间隔p均匀取样的冲激响应的数值解，但不绘出其相应 波形。 step( ) 函数函数step()将绘制出由向量a和b所表示的连续系统的阶跃响应，在指定的时间 范围内的波形图，并且求出数值解。和 impulse( )函数一样， step( )也有如下四 种调用格式： step( b,a) step(b,a,t0) step(b,a,t1:p:t2) y=step(b,a,t1:p:t2)上述调用格式的功能和impulse()函数完全相同，所不同只是所绘制(求解)的是 系统的阶跃响应g(t),而不是冲激响应h(t)。 lsim( ) 函数根据系统有无初始状态， lsim( )函数有如下两种调用格式： 系统无初态时，调用lsim()函数可求出系统的零状态响应，其格式如下：lsim(b,a,x, t)绘出由向量a和b所定义的连续系统在输入为x和t所定义的信号时，系统零状态响应的时域仿真波形，且时间范围与输入信号相同。其中 x和t是表示

4、输入信号的行向量，t为表示输入信号时间范围的向量，x则是输入信 号对应于向量t所定义的时间点上的取样值。y=lsim(b,a,x, t) 与前面的impulse和step函数类似，该调用格式并不绘制 出系统的零状态响应曲线，而只是求出与向量t定义的时间范围相一致的系统零状 态响应的数值解。 系统有初始状态时，调用lsim()函数可求出系统的全响应，格式如下：lsim(A,B,C,D,e, t,XO)绘出由系数矩阵A,B,C,D所定义的连续时间系统在输入为 e 和 t 所定义的信号时，系统输出函数的全响应的时域仿真波形。 t 为表 示输入信号时间范围的向量，e则是输入信号e(t)对应于向量t所定义的时间点上 的取样值，X0表示系统状态变量X=xl,x2,.xn在t=0时刻的初值。Y,X= lsim(A,B,C,D,e, t,X0)不绘出全响应波形，而只是求出与向量t定义的时间范围相一致的系统输出向量Y的全响应以及状态变量X的数值解。例题1:若某连续系统的输入为 e(t)，输出为r(t)，系统的微分方程为:y (t) + 5 y (t) + 6 y (t) = 3f (t) + 2 f (

5、t)求该系统的单位冲激响应h(t)及其单位阶跃响应g(t)。若f (t)二e皿(t)求出系统的零状态响应y(t) 分析 求冲激响应及阶跃响应的MATLAB程序:a=156;b=32;impulse(b,a,4) step(b,a,4) 求零状态响应的MATLAB程序:subplot(2,1,1), subplot(2,1,2), 运行结果如右：a=1 5 6; b=3 2;p1=0.01;%定义取样时间间隔为 0.01t1=0:p1:5;x1=exp(-2*t1);lsim(b,a,x1,t1),hold on;p2=0.5;t2=0:p2:5;x2=exp(-2*t2);lsim(b,a,x2,t2), hold off% 定义时间范围% 定义输入信号% 对取样间隔为 0.01 时系统响应进行仿真 %保持图形窗口以便能在同一窗口中绘制多条线 %定义取样间隔为 0.5% 定义时间范围% 定义输入信号运行结果如下：解除保持% 对取样间隔为 0.5 时系统响应进行仿真并例题 2 已知一个过阻尼二阶系统的状态方程和输出方程分别为：x (t)=213X (t) + 0 f (t)r(t)=0

6、1X(t)4S%绘若系统初始状态为X(0) = 4-5T ,求系统在f二3e毗作用下的全响应。求全响应程序如下：A=0 1 ; -2 -3 ;B=0 2;C=0 1;D=0;X0=4 -5;%定义系统初始状态 t=0: 0.01:10;E=3*exp(-4*t).*ones(size(t)r , x=lsim(A,B,C,D,E,t,X0); plot(t,r)制系统全响应波形 运行结果如右。2.离散时间系统LTI 离散系统中，其输入和输出的关系由差分方程描述：为 a y (k + i)=区 b f (k + j)前向差分方程)iji=0j=0为 a y (k - i)=区 b f (k - n + j)i=o ij=o j(后向差分方程)当系统的输入为单位序列6 (k)时产生的零状态响应称为系统的单位函数响应，用 h(k)表示。当输入为 (k)时产生的零状态响应称为系统的单位阶跃应，记为： g(k) ，如下图所示。如果系统输入为 e(k) ，冲激响应为 h(k) ，系统的零状态响应为 y(k) ，则有：y(k)= h(k)* f(k)。与连续系统的单位冲激响应h(t)相类似，离散系统

7、的单位函数 响应 h(k) 也包含了系统的固有特性，与输入序列无关。我们只要知道了系统的单位 函数响应，即可求得系统在不同激励信号作用下产生的响应。因此，求解系统的单 位函数响应 h(k) 对我们进行离散系统的分析也同样具有非常重要的意义。MATLAB 中为用户提供了专门用于求解离散系统单位函数响应， 并绘制其时域波形 的函数 impz ( ) 。同样也提供了求离散系统响应的专用函数 filter ( ) ，该函数能求 出由差分方程所描述的离散系统在指定时间范围内的输入序列作用时，产生的响应 序列的数值解。当系统初值不为零时，可以使用 dlsim ( ) 函数求出离散系统的全响 应，其调用方法与前面连续系统的 lsim( ) 函数相似。另外，求解离散系统阶跃响 应可以通过如下两种方法实现：一种是直接调用专用函数 dstep( ),其调用方法与 求解连续系统阶跃响应的专用函数 step( ) 的调用方法相似；另一种方法是利用求 解离散系统零状态响应的专用函数 filter( ) ，只要将其中的激励信号看成是单位 阶跃信号 (k) 即可。函数的调用格式分别如下： impz()函数impz(

8、b,a)impz(b,a,n)impz (b, a, nl :n2)以默认方式绘出由向量a和b所定义的离散系统单位函数 响应的时域波形。绘出由向量 a 和 b 所定义的离散系统在 0 n (n 必须 为整数)的离散时间范围内单位函数响应的时域波形。绘出由向量 a 和 b 所定义的离散系统在 n1 n2 (n1、n2 必须为整数)的离散时间范围内单位函数响应的时域波y=impz (b, a, nl :n2)(nl、n2必须为整数)求出由向量 a 和 b 所定义的离散系统在 n1 n2 的离散时间范围内单位函数响应的数值解，但不绘出波形。 filter()函数filter(b,a,x)其中a和b与前面相同，x是包含输入序列非零样值 点的的行向量。此命令将求出系统在与 x 的取样时间点相同的输出序列样值。例 题 ： 已 知 描 述 离 散 系 统 的 差 分 方 程 为y( -)0 -y-2 k 5+ (y- )k =0 -，且已知系锂输入序列为f (k)二(i (k)2 求出系统的单位函数响应 h(k) 在 -3 10 离散时间范围内响应波形。 求出系统零状态响应在 015 区间上的样值；

9、并画出输入序列的时域波形以及系 统零状态响应的波形分析：求系统的单位函数响应的MATLAB程序： a=1,-0.25,0.5; b=1,1,0;impz(b,a,-3:10), title(单位响应)绘出单位函数响应在-3 10 区间上的波形运行结果如图 a。 求零状态响应的 MATLAB 程序： a=1,-0.25,0.5;b=1,1,0 k=0:15;x=(l/2).k; y=filter(b,a,x) subplot(2,1,1),stem(k,x) title( 输入序列) subplot(2,1,2),stem(k,y) title( 输出序列) 运行结果如下： y =Columns 1 through 101.0000 1.75000.19820.2156-0.0218Columns 11 through 160.05150.0187-0.0204%定义输入序列取值范围%定义输入序列表达式%求解零状态响应样值%绘制输入序列的波形%绘制零状态响应的波形0.6875-0.3281-0.2383-0.1015 -0.0086-0.0141 0.0069 0.008850.snl一-duua.单位响应输入序列19 ?-1小C心宀.r-X，宀，/ 6 ,l-JL1b.

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