1、滚动问题中的摩擦力摘要: 滚动问题是工程力学中常见的问题,摩擦力的研究是其中的重要课题,深刻理解摩擦力的概念、摩擦力产生的原因，正确判断摩擦力的方向对分析和解决滚动问题至关重要. 分别分析了滚动物体在不受外力作用及受外力作用两种情况下,如何判断滑动摩擦力的类型及方向,最后讨论了滚动问题中滑动摩擦力的功.关键词: 滚动 滑动 摩擦力引言在滚动问题中,物体的运动既有滑动又有转动,因此,在判断摩擦力的类型及方向时,既要考虑滑动还要考虑转动,但是接触面间的摩擦力由“阻碍接触面之间相对运动或相对运动趋势”来确定的原则是不变的. 1 物体滚动时摩擦力的产生原因两物体相互接触并发生相对运动时，有两种基本的运动形式，即滑动和滚动.在滑动时，该物体的运动形式为平动，即运动过程中该物体内所有质点具有相同的速度和加速度，表现出相同的运动规律.在滚动时，一种情形是纯滚动，即两物体的接触点具有共同速度，若与固定面接触，则接触点速度为零，称为速度瞬心，运动过程中该物体的运动形式为绕连续变化的瞬心的转动，物体内各点的速度可按照瞬心的圆周运动来确定，这也称为相对接触点的无滑滚动；此外还有一种情形是有滑滚动，此时该物体
2、的运动可看作绕接触点的转动与随接触点的滑动两种运动的合成.如果这两物体的接触面是绝对的光滑的，就无需考虑两物体间的摩擦力.但在现实中，理想的完全光滑面是不存在的，因此需要分析这两物体之间的摩擦力.下面首先对接触面间的摩擦力产生进行分析.在支持面M上作滑动的半径为R、重量为W的轮子，如图1所示，由于轮子与支持面之间的压迫作用而发生形变，使得支持面与轮子的接触部分产生了各个方向上的约束反力，这些力可以简化成一个垂直分力、一个水平分力及已个力偶.根据主动力的不同情形，这些约束反力的大小也会相应的变化，其中垂直分力即支持力N，水平分力即静摩擦力F，力偶即滚动摩擦力偶m.（图1）在轮子静止时，水平方向的静摩擦力满足FFmax=fsN，滚动摩擦力偶满mmmax=N,方向与轮子的运动趋势相反，并与主动力构成静力平衡条件.其中Fmax为最大静摩擦力，fs为静摩擦系数，mmax为最大滚动摩擦力矩，为滚动摩擦系数.静摩擦系数fs及滚动摩擦系数取决于接触面的性质，它们决定了接触面可能产生的最大静摩擦力及滚动摩擦力偶矩.轮子在滑动时，水平方向的滑动摩擦力满足F=fN，方向与轮子的运动方向相反，滚动摩擦力偶满足
3、mMmax=N,方向与轮子的转动趋势相反，并与主动力够成动力平衡条件.其中f为动摩擦系数，不仅仅取决于接触面的性质，还与轮子的运动速度有关.在轮子滚动时，滚动摩擦力偶的方向与轮子转动方向相反，水平方向摩擦力取决于轮子是否相对于支撑面产生滑动.如果轮子与支撑面之间没有相对滑动，则轮子作纯滚动，此时水平方向的摩擦力为静摩擦力，满足FFmax=，即可能取值在0到Fmax之间，需满足动力平衡条件；如果轮子与支撑面存在相对滑动，则水平方向的摩擦力为滑动摩擦力，满足F=，其中f为动摩擦系数，不仅仅取决于接触面的性质，还与轮子的运动速度有关.此时也需满足动力平衡条件. 可见，滚动时接触面间的摩擦力是由于物体相互接触而产生的，本质上是一种约束反力，因此其方向和大小会因主动力的不同而不同，与物体的运动形式密切相关.2 滚动问题中摩擦力的类型及方向的判断2. 1物体不受外力作用的滚动如图2所示,一个轮子在地面上滚动,其质心平动速度为v,轮子转动角速度为,轮子在t时间内向右平移vt, 同时轮子的最低点将向左移动rt ( t为无限小量) 当平动和转动同时发生时, 轮子与地面的接触点A 相对于地面的滑动距离是v
4、t - rt.（图2）若vt - rt 0 (1)则表示轮是向右运动, 轮所受的摩擦力将指向左;若vt - rt r, f与v相反,如图3所示. （图3）f = 0 也就是纯滚动的情况. 由以上分析可知,摩擦力总是企图调整滚动和滑动的速度,使轮子达到v =r的状态. s 1,则:R a表示转动大于滑动,摩擦力将使转动减速,使滑动加速,故f与F是同向的,如图7所示. (图7)若:M r R/J 1,则:R r,此时s r,如图3和图8所示. 由于fs f r,即f做的负功数值大于转动力矩做的正功数值. 摩擦力对轮子做的总功为- f s + f r,这个功将使轮子的动能减少. 若s= r表示轮子转角时质心应该滚过的距离, s - s表示轮子相对滑动的距离,则总功可以表示为- f ( s - s) ,因此,轮子在有滑动的情况下,摩擦力将对轮子做负功,数值是相对滑动的距离与摩擦力的乘积, 系统的总耗散功也正是这个数值.当轮子质心的平动速度小于滚动速度, 即vr ,此时s r, 如图4和图7所示. 上述的结论依然正确.4. 3物体在原地滚动作为极端情况,当轮子只转而质心不平动,这时相对滑动的距离就是r, 摩擦力的功是- f r.参考文献: 1 宁雅丽 滚动问题中摩擦力的研究 J 兰州工业高等专科学校学报 2008 (6) 5254 2 刘海 无滑滚动中静摩擦力的作用 J 六盘水师范高等专科学校学报 2001 (4) 4546 3 胡辉 无滑动滚动时摩擦力的功 J 力学与实践 2001 (4) 6465 4 周衍柏 理论力学M 北京: 高等教育出版社 2003 5 戴国平 试析刚体做滚动运动时摩擦力的方向 J 读与写(教育教学刊) 2007 (11) 3940 6 贾书惠 理论力学M 北京: 清华大学出版社 2005
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