九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第2课时平均变化率与一元二次方程导学案新版新人教版新版新人教版初中九年级上册数学学案

1、第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第2课时 平均变化率问题与一元二次方程学习目标：1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.重点：通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题.难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.自主学习一、知识链接小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？课堂探究二、要点探究探究点1：平均变化率问题与一元二次方程探究两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成本是3600 元.哪种药品成本的年平均下降率较大？典例精析例1 前年生产1吨甲产品的成本是3600元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？注意：下降率不可为负，且不大于1.变式：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价

2、的百分率.（精确到0.1%） 例2 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；注意：增长率不可为负，但可以超过1.问题 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？方法归纳：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1x)n=b(其中增长取“+”，降低取“”).例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率探究点2：营销问题与一元二次方程练一练 1.假设某种商品的成本为每件2元，售价为3元时，可卖100件.(1)此时的利润w= 元； (2)若售价涨了1元，每件利润为 元，同时少卖了10件，销售量为 件，利润w= 元；(3)若售价涨了2元，每件利润为 元，同时少卖了20件，销售量为 件，利润w= 元；(4)若售价涨了3元

3、，每件利润为 元，同时少卖了30件，销售量为 件，利润w= 元；(5)若售价涨了x元，每件利润为 元，同时少卖了 件，销售量为 件，利润w= 元.想一想 若想售卖这种商品获取利润300元，则每件商品应涨价多少元？变式训练 假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？注意：题目中有限定条件时，要注意取舍.例4 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？变式训练 增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？方法归纳： 用一元二次方程解决营销问题的一般步骤1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润；2.根据利润=销量单件利润列方程；3.解方程；4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍.5.作答.三、课堂小结平均变化

4、率问题增长率问题a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.降低率问题a(1x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.营销问题总利润=单件利润销量=（售价-进价）销量当堂检测1.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x，列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为 .3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.4.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该

5、蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.能力提升为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？参考答案自主学习知识链接75（1+20%）（1+20%）=108（分），即小明第三次数学成绩是108分.课堂探究二、要点探究探究点1：平均变化率问题与一元二次方程探究 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元，于是有5000(1-x)2=300

6、0，解方程，得x10.225， x21.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药品成本为6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为6000(1-y)2元，于是有6000(1-y)2=3600，解方程，得y10.225， y21.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.由上可知，甲乙两种药品的下降额不同，但是下降率相同.典例精析例1 解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 5000(1-x)2= 3000，解方程，得x10.225=22.5%，x21.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5.变式：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.根据题意，得 解这个方程，得 （舍去），答：每次降价的百分率为29.3%. 例2 解：设增长率为x，根据题意，得20（1+x）2=24.2.解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%答：增长率为10%.例3 解：设这个增长率为x.根据题意，得200+200(1+x) +200(1+x)2=950.整

7、理方程，得4x2+12x-7=0，这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5=50%答：这个增长率为50%.探究点2：营销问题与一元二次方程练一练 （1）100 （2）2 90 180 （3）3 80 240（4）4 70 280 （5）(1+x) 10x (100-10x) (1+x)(100-10x)想一想 解：设售价涨了x元，依题意得(1+x)(100-10x)=300，解得x1=4,x2=5.即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.变式训练 解：设售价涨了x元，依题意得(4+x)(100-5x)=640，解得x1=4,x2=12.售价不高于成本价的2.5倍，即x+122.58.x8.x=4.即每千克糖应涨价4元.例4 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200， 整理得x2-30x+200=0. 解方程得x1=10，x2=20. 答：每件衬衫应降价10元或20元.变式训练 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得（40-x)(20+2x)=1200，整理得，x2-30x+200=0. 解方程得x1=10，x2=20. 因为要尽快减少库存，所以

8、x=10舍去.答：每件衬衫应降价20元.当堂检测1.B 2.2(1+x)+2(1+x)2=83.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得7200(1+x)2=8712，系数化为1得(1+x)2=1.21.直接开平方得，1+x=1.1，1+x=-1.1.则x1=0.1= 10%，x2=-2.1(舍去).答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.4.解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(50010x)个，则(50010x) (50+x)40=8000，整理得 x240x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合题意.当x=10时，50+x =60，50010 x=400；当x=30时，50+x =80， 50010 x=200.答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400；若售价为80元，则进货量应为200个.5.解：（1）设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得5(1x)2=3.2，解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）平均每次下调的百分率为20%；（2）解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.20.95000=14400(元)；方案二所需费用为：3.250002005=15000(元)，1440015000，小华选择方案一购买更优惠.能力提升解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意得解得所以y与x的函数关系式为y=-5x+200（2）依题知（x-25）（-5x+200）=130整理方程，得x2-65x+1026=0解得x1=27，x2=38此设备的销售单价不得高于35万元，x2=38（舍），所以x=27答：该设备的销售单价应是27 万元

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