高考数学理二轮专题练习【专题7】1排列、组合与二项式定理含答案

1、第1讲排列、组合与二项式定理考情解读1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等1分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘2排列与组合(1)排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是An(n1)(n2)(nm1)或写成A.(

2、2)组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是C或写成C.(3)组合数的性质CC；CCC.3二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanb0Can1bCan2b2CanrbrCa0bn(r0,1,2，n)(2)二项展开式的通项Tr1Canrbr，r0,1,2，n，其中C叫做二项式系数(3)二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即CC，CC，CC，.最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和aCCCCC2n；bCCCCCC2n2n1.热点一两个计数原理例1(1)将1,2,3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为()A6种 B12种C18种 D24种(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A240

3、 B204C729 D920思维启迪(1)先确定数字1,2,9的位置，再分步填写空格；(2)按中间数进行分类答案(1)A(2)A解析(1)每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法共有236种结果，故选A.(2)分8类，当中间数为2时，有122种；当中间数为3时，有236种；当中间数为4时，有3412种；当中间数为5时，有4520种；当中间数为6时，有5630种；当中间数为7时，有6742种；当中间数为8时，有7856种；当中间数为9时，有8972种故共有26122030425672240种思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化(1)(2014大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种C75种 D150种(2)已知函数f(x)

4、ln(x21)的值域为0,1,2，则满足这样条件的函数的个数为()A8 B9 C26 D27答案(1)C(2)B解析(1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有CC75(种)(2)因为值域为0,1,2即ln(x21)0x0，ln(x21)1x，ln(x21)2x，所以定义域取值即在这5个元素中选取，当定义域中有3个元素时，CCC4，当定义域中有4个元素时，CC4，当定义域中有5个元素时，有一种情况所以共有4419(个)这样的函数热点二排列与组合例2(1)(2014重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120C144 D168(2)数列an共有12项，其中a10，a52，a125，且|ak1ak|1，k1,2,3，11，则满足这种条件的不同数列的个数为()A84 B168C76 D152思维启迪(1)将不能相邻的节目插空安排；(2)考虑数列中项的增减变化次数答案(1)B(2)A解析(1)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，

5、相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有AA48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法(2)|ak1ak|1，k1,2,3，11，前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，CC84.思维升华解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数(1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A24种 B48种C96种 D144种(2)从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是_(用数字作答)答案(1)C(2)60解析(1)首先

6、安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有A种排法，共有242A96(种)(2)0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，且为偶数，有两种情况：一是当0在个位的四位偶数有A24(个)；二是当0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的三个数选一个放在首位，应有AAA36(个)，故共有四位偶数60个热点三二项式定理例3(1)()8二项展开式中的常数项为()A56 B56C112 D112(2)如果(1xx2)(xa)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为_思维启迪(1)利用通项公式求常数项；(2)可用赋值法求二项展开式所有项的系数和答案(1)C(2)5解析(1)Tr1C()8r()rC(2)rr，令r0，即r2，常数项为C(2)2112，选C.(2)令x1得(1xx2)(xa)5的展开式中所有项的系数和为(1112)(1a)50，a1，(1xx2)(xa)5(1xx2)(x1)5(x31)(x1)4x3(x1)4(x1)4，其展开式中含x4项的

7、系数为C(1)3C(1)05.思维升华(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；Tr1是展开式中的第r1项，而不是第r项；公式中，a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位置；对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法(1)(2014湖北)若二项式(2x)7的展开式中的系数是84，则实数a等于()A2 B.C1 D.(2)(2014浙江)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于()A45 B60C120 D210答案(1)C(2)C解析(1)二项式(2x)7的展开式的通项公式为Tr1C(2x)7r()rC27rarx72r，令72r3，得r5.故展开式中的系数是C22a584，解得a1.(2)因为f(m，n)CC，所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.1排列、组合应用题的解题策略(1)在解决具体问题时，首先必须弄清

8、楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关(3)排列、组合综合应用问题的常见解法：特殊元素(特殊位置)优先安排法；合理分类与准确分步；排列、组合混合问题先选后排法；相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；定序问题倍缩法；多排问题一排法；“小集团”问题先整体后局部法；构造模型法；正难则反、等价转化法2二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)Canrbr是第r1项，而不是第r项(2)运用通项公式Tr1Canrbr解题，一般都需先转化为方程(组)求出n、r，然后代入通项公式求解(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求出所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.真题感悟1(2014浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)答案60解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分

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