必修一第3章--习题课--函数的应用

1、明目标、知重点1.进一步掌握常用的函数模型，并会应用它们来解决实际问题.2.提高在面临实际问题时，通过自己建立函数模型来解决问题的能力1某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是下列中的_多赚约6元；少赚约6元；多赚约2元；盈利相同答案解析设A、B两种商品的原价为a、b，则a(120%)2b(120%)223a，b，ab466(元)2今有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01在以下四个模拟函数中，最适合这组数据的函数是_vlog2t；v；v2t2.答案解析将自变量的值代入各选项，易知成立3由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机15年后的价格应降为_元答案2 400解析，所以当x15时，y8 100(1)38 1002 400(元)4已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度

2、的以下，则至少需要重叠玻璃板数为_块(lg 30.477 1)答案11解析设至少需要n块玻璃板，由已知得(110%)n.即()n，所以lg()nlg ，即n(2lg 31)lg 3，0.045 8n0.477 1，n10.4.5某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个答案2ln 21 024解析当t0.5时，y2，k2ln 2，ye2tln 2，当t5时，ye10ln 22101 024.62012年我国人均国民生产总值约为a美元，若按年平均增长率8%的速度增长(1)计算2014年我国人均国民生产总值；(2)经过多少年可达到翻一番？(lg1.080.033 4，lg 20.301 0)解(1)设经过x年后，人均国民生产总值为y美元，由题意ya(10.08)x.所以，2014年我国的人均国民生产总值为ya(10.08)21.166 4a(美元)(2)由题意：1.08x2x9.012.故经过10年可达到翻一番题型一二次函数模型的应用例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工

3、资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为48040(x1)52040x(桶)由于x0,52040x0，即0x13.y(52040x)x20040x2520x200,0x13.易知，当x6.5时，y有最大值所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润反思与感悟对于二次函数模型，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符跟踪训练1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日租金增加2元，客房出租数就会减少10间若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的

4、租金总收入最高？解设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为30010x，由x0，且30010x0得：0x30，设客房租金总收入y元，则有：y(202x)(30010x) 20(x10)28 000(0x30)由二次函数性质可知当x10时，ymax8 000.所以当每间客房日租金提高到2010240元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元题型二选择函数的拟合问题例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？解 (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(如图)根据点的分布特征，

5、可考虑以yabx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入yabx得：，用计算器算得a2，b1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y21.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系(2)将x175代入y21.02x得y21.02175, 由计算器算得y63.98.由于7863.981.221.2, 所以，这个男生偏胖反思与感悟依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题跟踪训练2为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示年序最大积雪深度x(c

6、m)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？解(1)利用计算机几何画板软件，描点如图甲(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yabx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可得a2.4，b1.8.这样，我们得到一个函数模型：y2.41.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y2.41.825，求得y47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷题型三对数函数模型的应用例3 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人

7、类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lg N0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lg N0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2解(1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y(1x)n60，则当n40时，y30，即30(1x)4060，(1x)402，两边取对数，则40lg (1x)lg 2，则lg (1x)0.007 525，1x1.017，得x1.7%.故每年人口平均增长率是1.7%.(2)依题意，y12.48(11%)10，得lg ylg 12.4810lg 1.011.139 2，y13.78，故人口至多有13.78亿答每年人口平均增长率为1.7%

8、,2008年人口至多有13.78亿反思与感悟(1)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义(2)对数函数模型的一般表达式为：f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，a0，a1)跟踪训练3燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得05log2.解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位(2)将耗氧量Q80代入公式得：v5log25log2815 (m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.呈重点、现规律1函数模型的应用实例主要包括三个方面(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2函数拟合与预测的一般步骤(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.一、基础过关1汽车经过启动、加速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程

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