求解抛物线方程的显式差分法

1、苏州大学本科生毕业设计（论文）目录摘要2Abstract31. 前言42. 一维热传导方程第一边值问题的定义及差分格式的建立52.1 第一边值问题的定义52.2差分格式的建立52.2.1 连续问题离散化：网格剖分52.2.2 显式差分格式的定义及截断误差72.3 热传导方程混合问题的差分方法82.3.1显式差分方程问题及向量表示82.3.2 显式差分格式的稳定性92.3.3 显式差分格式的收敛性133. 数值算例及图像153.1 数值算例154 总结185 参考文献196 致谢20摘要在物理学中，通常采用二阶抛物型偏微分方程来对热传导和扩散现象进行描述，统称为热传导方程。目前常用的求解热传导方程的差分格式有六点格式（Crank-Nicolson）、隐式差分格式、显式差分格式和Richardson格式。本文将使用显式差分法分析一维热传导方程问题，给出其截断误差，并证明稳定性及收敛性，最后通过数值算例和图像对误差进行简单的分析，从而验证我们的理论分析。关键字：一维热传导方程，初边值条件，显式差分法，稳定性，收敛性。AbstractThe second order parabolic par

2、tial differential equation is usually used to describe the phenomena of thermal transmission and diffusion in physics.At present, there are explicit difference schemes, implicit difference schemes, Crank-Jolson schemes and Richardson schemes for solving thermal transmission equations.In this paper, the explicit difference method is used to analyze the one-dimensional thermal transmission question, and its steadiness and astringency are proved. The truncation error is given, and the error is anal

3、yzed simply by numerical examples and images, so as to verify our theoretical analysis.Keywords:one-dimensional thermal transmission equation, explicit difference method, boundary condition, steadiness, astringency.1. 前言热传导是由温差引起的热量传运过程，当物体内部各点温度不相同时，热量就会从高温处向低温处传播。热传导方程是抛物型偏微分方程最简单的例子，用于探究固体内部的热量传输，在许多现象的数学模型中出现；热传导的探究对工业和经济长远发展也是十分重要的，比如：材料结构热应力计算、金属材料在铸造、锻压等过程中内部温度分布，以及食品的冷冻过程等等都跟导热理论关系密切，同时它也是目前研究各种传热现象及工程热物理学科必不可少的工具。所以，探究热传导方程具有十分重要的实践意义。下面，先考察某个物体在三维情况下的热传导问题，物体G在时刻时在处的温度我们用函数来表示，假设关于具有连续

4、一阶偏导数，关于具有连续二阶偏导数。计算热传导问题，还需要一些参数，那么用表示物体在处的热传导系数，设物体G的密度为，比热容为。那么根据热量守恒定律、傅里叶定律以及高斯公式得：，假设此时物体是均匀的，那么均是常数，令，化简得到：抛物型方程的求解是很有研究意义的，通常情况下，对于简单的方程或定解问题，精确解比较容易求得，但是过于复杂的方程，精确解很难求甚至求不到，这个时候我们就只能想办法去找抛物型方程定解问题的近似解，所以就有必要去研究抛物型方程数值解。而在目前，已经总结出了求解近似解的方法，即有限差分法和有限元法。本文主要是来讨论有限差分法当中的显式差分。本文主要探究一维热传导方程问题。全文分为两部分，第一部分从一维热传导方程的定义出发，介绍了求解热方程的显式差分法,所谓显式差分法，第一步就是把问题的定义域划分成网格，第二步使用数值微分公式，用差商取代替原来热传导问题的微商，就可以把热传导问题转换成显式差分格式，再讨论其在不同网格上的误差，第三步证明其稳定性及收敛性，第二部分是通过具体的数值算例对误差进行简单的分析，验证我们的理论分析。2. 一维热传导方程第一边值问题的定义及差分格式的

5、建立2.1 第一边值问题的定义本文讨论的一维热传导方程第一边值问题如下：在区域内求函数满足方程及初始条件边界条件 并且，其中是给定的函数.2.2差分格式的建立2.2.1 连续问题离散化：网格剖分用差分方法求解偏微分方程的第一步是将连续问题离散化，所以取为自变量的增量，称为空间步长；取为自变量的增量，称为时间步长。接下来我们用两组平行线构成的长方形网格覆盖整个平面,网格点简记为.在上的结点称为边界结点（结点：网格线的交点），其它的在内的结点称为内部结点.下面介绍建立差分格式时几个常见公式：，其中 （1），其中. （2），其中. （3），其中. （4）现就公式（1）（2）做如下证明：将在点处作拉格朗日型泰勒展开得到 所以有，公式(2)得证.将在点处作拉格朗日型泰勒展开得到 得到 （5）将在处作泰勒展开得到 得到 （6）由(5)-(6)得：,公式(1)得证。称为关于自变量的二阶中心差商，是关于自变量的一阶向前差商、是关于自变量的一阶向后差商、是关于自变量的一阶中心差商.上述公式过于冗长，为方便起见，我们规定用下列符号来替代关于自变量的差商： 2.2.2 显式差分格式的定义及截断误差差分方法的

6、思想：(1)用差商代替微商；(2)求网格点上的近似值.利用关于的二阶中心差商以及关于的向前差商，也就是公式（1）（2），在点处就有： （7）设 （8） （9）则（7）式可以改写为，其中表示差分算子，表示在点以逼近的截断误差。从（9）中我们能得到，若在所考虑的区域内是保持有界的，那么当时有。用表示的近似值，忽略截断误差，则得到差分方程令，则有.显式差分格式的图示为： (k,j+1) j+1 （k-1,j） (k,j) (k+1,j) j2.3 热传导方程混合问题的差分方法2.3.1显式差分方程问题及向量表示与第一边值问题对应的显式差分问题是：当固定时，令，则方程组（10）可以表示成 （13）方程组（13）右端关于的系数是组成了一个N-1阶的三对角矩阵 （14）再将方程组（10）（11）（12）也写成向量形式，令，则方程组（10）（11）（12）可以简单的记作 （15）所以，根据初始条件（11）以及边界条件（12），再通过方程组（10）就可以逐层算出.例如已知层的值，则有，.初始条件和边界条件已经给出，由这两个条件即可算出层的值，以此类推。虽然显式差分格式已经构造出来，但一个数值格式可以被

7、真正用于计算还需考虑以下两点：1. 数值格式的稳定性，即显式差分格式的误差在计算中能不能保持有界？2. 数值格式的收敛性，即当无限小时，差分方程的精确解是否逼近微分方程解？2.3.2 显式差分格式的稳定性建立差分格式的时候，我们在网格区域内计算通常是分层进行的。所谓的稳定性问题就是如果在某一层引入了误差,那么一定会影响到下一层和之后各层的计算，但是我们在解差分方程组时必定会因为客观因素的影响而引入误差，比如初始误差和舍入误差,那么研究诸如这些误差在计算过程中的影响。如果说误差是在刚开始计算时引入的，要使差分方程稳定，就要满足在之后逐步计算过程中，误差的影响有界或逐渐消失；不然就表明该差分格式是不稳定的。不稳定的差分格式即使收敛也没有意义,因为此时误差会随步数的增多慢慢积累逐渐扩大,最终差分方程的真实解将被完全淹没。下面我们用图来证明探究差分格式的稳定性是十分有必要的。令时，差分格式为假定边界条件的计算是精确的，只在初始层某个点上产生了误差，初始层其他点以及以后各层上都没有误差。误差应该满足方程组由此可以得到的如下分布表：000000000000000表1.时的误差分布表从图中能明显看到，误差是在逐层减少，所以当步长比时，显式差分格式稳定。再来看一下当时的情形，误差方程为此时误差分布表如下：表2.时的误差分布表从表中可以明显看出误差是在逐层增大的，所以当时显式差分格式不稳定。因此研究要使显式差分格式稳定，步长比应该在什么范围内就至关重要。下面开始研究显式差分格式稳定的充要条件。设方程组（15）的近似解为，则满足方程组因此误差应满足方程由此就能得到，故有.由这个不等式可知，如果，则有，也就是在各层结点上的范数都不超过初始误差的范数。在此时，显式差分格式是稳定的。所以问题就转化成了在什么条件下才能使成立。矩阵A也就是公式（14）是一个实对称矩阵，取范数，就有，其中是A的绝对值最大的特征值，所以说显式格式稳定的充分条件是，,充分条件已证明，接下来用反证法说明这一条件也是必要的。假设显式格式稳定，但是。如果是A的与对应的特征向量，也就是，那就有，所以，。如果不是A的与对应的特征向量，

《求解抛物线方程的显式差分法》由会员博****1分享，可在线阅读，更多相关《求解抛物线方程的显式差分法》请在金锄头文库上搜索。