考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度理论

1、考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度理论吕大刚 宋鹏彦 王光远哈尔滨工业大学 土木工程学院，黑龙江哈尔滨 150090摘 要： 结构工程中的随机性包括物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，经典的结构可靠 度理论属于随机可靠度理论，因为它处理的主要是物理不确定性问题，而对于考虑统计与模型不确 定性的结构统计可靠度问题，目前的研究则很不充分。文本将综合考虑物理不确定性、统计不确定 性和模型不确定性，以Bayes理论为数学工具，对结构的统计可靠度问题进行研究。首先对Bayes理 论进行了概括和总结，采用该理论对结构工程中的统计不确定性和模型不确定性进行了建模和分 析。然后研究考虑统计与模型不确定性的结构可靠度分析方法，给出考虑统计与模型不确定性的各 种结构可靠性测度，并研究了综合考虑主观不确定性与客观不确定性的整体式与分离式可靠度计算 方法。最后通过两个算例，分析了统计不确定性和模型不确定性对结构可靠度的影响。关键词：随机可靠度；统计可靠度；统计不确定性；模型不确定性；Bayes统计学1 引 言结构工程中的随机性包括物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，物理不确定性是指各 种物理量

2、(如荷载、材料强度、结构尺寸等)的客观变异性；统计不确定性是由于对物理量进行统 计分析时缺乏足够的样本信息而产成的；模型不确定性源于对复杂物理现象进行数学建模时的理想 化假设。经典的结构可靠度理论属于随机可靠度理论，因为它处理的主要是物理不确定性问题。目 前，在结构可靠度的研究领域，对于考虑统计与模型不确定性的结构统计可靠度问题，则研究得很 不充分。Egeland 在国际上较早地注意到了结构的随机可靠度与统计可靠度这两个学科之间的分野，并 提出了将这两种理论进行融合的建议1。对于模型不确定性对结构可靠度的影响，目前国内外结构 设计规范的统一处理方法是在考虑材料性能和几何参数随机性的抗力模型基础上，引入一个考虑计 算模式随机性的随机变量，以考虑模型不确定性的影响。这种方法太粗糙，且属于经典的随机可靠 度理论范畴。Ditlevsen首先提出了采用Bayes统计理论研究模型不确定性的方法2，Maes研究了承 受模型不确定性时设计荷载准则的规范化问题3，Zhang和Mahadevan研究了基于可靠度的检测理 论中的模型不确定性和 Bayes 修正技术4， Mahadevan 等人采用 Baye

3、s 概率网络技术，系统地研究 了模型不确定性的分析与验证方法5，Igusa等人采用Bayes分析技术较系统地研究了结构工程中的 不确定性6。Der Kiureghian深入地研究了在不完全知识状态下结构安全性的各种测度，并提出了 考虑模型不确定性的结构地震易损性分析方法8。上述研究都是研究模型不确定性引起的结构可靠 度问题，目前国内外对于考虑统计不确定性的结构可靠度问题则研究得更少， Lemaire 等人对于统 计数据不确定性对结构可靠度的影响进行了初步的研 9。文本将综合考虑物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，以 Bayes统计理论为数学工 具，对结构的统计可靠度问题进行深入细致的研究。2统计与模型不确定性的Bayes建模与修正在 Bayes 统计学中， Bayes 公式通过来源于观测数据的似然函数修正先验概率分布，从而将主 观信息与客观信息进行有机的集成：f(e)二 cL (6) f (6)(1)式中，广(6)为随机参数0的先验分布，L(6 )为0的似然函数，c = I L(6)f (6)d6 _1为归一 0L 60-化因子，f(6)为0的后验分布。0确定先验分布的方法主要有

4、主观先验分布、扩散先验分布、无信息先验分布、共轭先验分布等方法；似然函数是根据客观信息通过似然原理确定的；后验分布实际上是给定样本观测值x后0的 条件分布：f (0 I x) x L(0 I x) f (0)，后验分布一旦得到，即可得到0的平均值和标准差等后验 统计信息。利用 Bayes 修正公式(1)可以对统计不确定性和模型不确定性进行建模与分析。设f (x,0 )为随机向量X的联合概率密度函数，0为考虑统计不确定性的分布参数。当随机 ff试验的观测值表现为等式观测(例如混凝土强度的统计分析)时，似然函数L(0 )可以取为fL(0 )f (x , 0 )fi fii=1式中，x ,x ,x是X的随机抽样的一组观测数据。1 2 n如果抽样不是随机的，则必须使用样本值的联合分布建立似然函数，此时可以通过对于x的不等式观测(例如桥梁的荷载验证试验)来取代对于x的直接观测。假设不等式观测事件为E =g (x ) O,i = 1,n，并假设x是统计独立的，则有L(0；) x P p|g (x ) O| 0L i=1ii ii(3)Pg (x ) OI0 i ifi=1结构工程中的模型不确定性及

5、其相应的处理方法主要可以分为以下三大类：(1)模型的形式不 精确，但是可以采用精确的方式对其进行观测；(2)模型的形式不精确，对模型的观测也存在误 差；(3)对现有的近似模型进行校正。对于非精确模型、精确观测的情况，统计模型可以表示为y = g (x, 0 ) + p + o(4)g式中，g(x,0 )为精确模型的近似模型，其中x为基本随机变量，0为模型参数；卩为偏差，即 gg系统误差；为具有零均值和单位标准差的随机变量；为模型误差的标准差，是对模型不确定性 的测度。假设：(1)正态性： = N(0,1) ； (2)均匀离中性(Homo-skedashcity)： 与x 独立；(3)无偏性，即令卩=0，可得似然函数为:L(0 ,o)pg o n1 n2i=1Jo对于非精确模型、有观测误差的情况，统计模型可以表示为y = y + eiii式中，e = N(0,s2)为无偏观测。i可得似然函数为：L(0 Q)gxexpQ 2 + s2)n/21 2i=1(y - g (x, 0) J Jo 2 + s 2 丿对现有近似模型的校正情况，统计模型可以表示为y = g (x) + h (x, 0

6、) + os = g (x, 0) + os式中，H(x,0)为校正项，它的一种可能形式为h(x,0) = 0 h (x)kkk式中，h (x)称为“解释性函数”(Explanatory Functions)ok3 考虑统计与模型不确定性的结构可靠性测度(5)(6)(7)(8)(9)将统计不确定性参数 0 和模型不确定性参数 0 写成向量 0 =0 ,0 ，则同时考虑统计与模fgf g型不确定性的结构失效概率可按下式计算P (0)二 J f (X, 0 ) dxfX fg(x,0g)0 对于统计参数0，通常有三种数学处理方法：点估计、区间估计和预测估计，相应地也有三种 结构可靠性的测度。设0为0的某种点估计，例如0 = M或0 = 0( M为0的后验平均值，0 为0的最大0 MLE 0 似然估计)，则失效概率和可靠指标的点估计分别为Pf = pf (0) p =O-11 p f 式中，t()为标准正态累积分布函数(CDF)的反函数。考虑某个统计参数e & 0，根据给定的置信水平Q，寻求满足p (0 e e)二 ia的e和e，称为e的区间估计问题。 p 的平均值和方差可按下式计算：吩卩(

7、卩)p0-V P(卩)T .V P(卩)p 000000Q 。pp (0) 的 Bayes 估计为其后验均值，即EP (0) = J p (0)f (0)d0f0 f从而得到可靠指标的区间估计为% 根据Bayes统计学的基本原理,式中，f (0)为0的后验PDF。由 Fubini 定理，有Epf(0)JJfx(X,0严 f(0)d0 =MLE(11a)(11b)(12)(13a)(13b)(14)Lg (x,Og) 0gg (x,Og )0g严I fx (x，0 (0)d0 = f(x)，因此可以称f(x)为预测分布可用其作为失效概率和可靠 指标的估计：P =f p (0)f(0)d0 =Ep (0)f o ff艮二-il P /Pf和4分别称为“预测失效概率”和“预测可靠指标”4 考虑统计与模型不确定性的结构可靠度分析方法(16a)(16b)物理不确定性属于客观不确定性，而统计不确定性和模型不确定性则属于主观不确定性。根据对于主观和客观不确定性数学处理方法的不同，结构的统计可靠度分析有以下两种分析方法。4.1 主观与客观不确定性的整体式分析方法整体式分析方法 1：一次分析这种方法将将

8、0 ,0与x同等对待，亦即将0 ,0也视为随机变量，将其与X一起组成扩展的f gf g随机向量，然后采用经典的随机可靠度理论进行分析。采用该方法，失效概率按下式计算：p 二 J f (x 10 ) f (0 ) f (0 )d0 d0 dx(17)fffg g fg(x,0g)0通常情况下，可以假设随机向量 x,0 ,0 相互独立，于是可以采用经典的 FORM、SORM 或fgIS等方法对式(17)进行一次随机可靠度分析即可得到可靠指标和相应的失效概率。整体式分析方法2：预测分析这种方法利用x的预测分布(18)f (X) = J f (x 10 ) f (0 ) d0来计算结构的失效概率。将式(18)代入到式(17)中，可以得到相应的预测失效概率为p 二 Jf (X) f (0 ) d0 dxfg gg(x,0g)0(19)整体式分析方法3：嵌套分析 这种方法引入一个新的极限状态函数g (u, 0)二 u + 卩(0) 式中，u为标准正态随机变量，并与0独立。 相应于式(20)的失效概率为 p (0)fu+p (0 )0(20)f (0)p (u)dud0 = J J0 -由于u为标准正态随机变量，因此上式中方括号内的积分为申(u)du二 P(0)= p (0)p (0)申(u)du f (0)d0(21)g卩卩(0)g将式(22)代入到式(21)中，可得：p (0) = J p (0)f (0)d0 = p (0)f 0 ff(22)(23)由此可以看出，式(20)对应的失效概率pf (0)即为预测失效概率p(0)。由于这种方法需要进 行两层可靠度分析，第一层需要首先计算卩(0)，第二层再计算失效概率 叫(0)，因此称之为“嵌 套可靠度”分析。整体式分析方法4：近似分析这种方法直接求解预测可靠指标P的近似表达式。对于功能函数式(20)，如果g(x)为正态分 布，则根据MVFOSM理论可知，预测可靠指标为p = U /。如果卩接近正态分布，g gU = 0 + u = ug卩卩则有：(24a)因此，预测可靠指标可以近似为(24b)(25)这里，Up

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