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高中数学三角函数专题专项练习(非常好)

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常见问题

1、【三角函数疑难点拔】一、忽略隐含条件例 3 若 sin xcos x10 ，求 x 的取值范围。正解：2 sin( x)1，由 sin( x)2 得 2k4x2k3(kZ ) 2kx2k( kZ)442442二、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例 4 设、为锐角，且+120 ，讨论函数 ycos2cos2的最值。错解y11 (cos2cos2) 1cos() cos()11 cos() ，可见，当 cos()122时， ymax3)1时， ymin1。分析：由已知得 30,90 ，6060；当 cos(2，则21)1 ，当cos()1，即60时， ymin1cos(2，最大值不存在。2三、忽视应用均值不等式的条件例 5 求函数 ya2b 2(ab0,0x) 的最小值。cos2xsin 2x2错解ya 2b2(1)2ab4ab( 2)4ab(0sin 2 x1) ，当 sin 2x1时， ymin4abcos2 xsin 2 xsin x cos xsin 2x分析：在已知条件下，（1）、（ 2）两处不能同时取等号。正解：ya2 (1tan 2 x )b2 (1cot

2、2 x )a 2b 2(a 2 tan2 xb 2 cot 2 x ) ，a 2b22ab( ab) 2当且仅当 a tan xb cot x ，即 tan xb ，时， ymin(ab)2a【经典题例】例 4：已知 b、c 是实数，函数 f(x)=x2bxc 对任意、R 有： f (sin)0, 且 f (2cos)0,（1）求 f （1）的值；（ 2）证明： c3 ；（3）设 f (sin) 的最大值为10，求 f （x ）。思路（1）令 =2，得 f (1)0, 令 =，得 f (1)0, 因此 f (1)0, ；（2）证明：由已知，当1x1 时， f ( x)0,当 1x3时， f ( x)0, 通过数形结合的方法可得： f (3)0, 化简得 c3 ；（3）由上述可知， -1 ，1 是 f (x) 的减区间，那么 f (1)10, 又 f (1)0, 联立方程组可得 b5, c4 , 所以 f ( x)x25x4例 5：关于正弦曲线回答下述问题：（ 1）函数 ylog 1 sin(x ) 的单调递增区间是？ 8k2x8k4kZ ；23433（ 2）若函数 ysin 2xa

3、 cos2x 的图象关于直线x对称，则 a 的值是1；8（ 3）把函数 ysin(3x4) 的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3 倍（纵坐标不变），则所得8的函数解析式子是ysin( x8) ；例 6：函数sin 2xf ( x)1 sin x cos x，（1）求 f(x)的定义域；（2）求 f(x)的最大值及对应的x 值。1 思路（1） x|x2k且 x2kkZ (2) 设 t=sinx+cosx,则 y=t-1 ymax2 1, x2kkZ24例 7：在 ABC中，已知 sin A cos2 Csin C cos2A3 sin B （1）求证： a、b、c 成等差数列；（2）求角 B 的取值范围。222 思路（1）条件等式降次化简得sin A sin C2sin Ba c2b（2）cosBa 2c2( a2c) 23(a 2c2 )2ac6ac2ac1，得 B 的取值范围(0, 2ac8ac8ac,2314设 xcossin，且 sin 3cos30 ，则 x 的取值范围是(0,2；19已知 x(0,) ，证明不存在实数m(0,1) 能使等式 cos x +msin x =m(*) 成立；2（2）试扩大 x 的取值范围，使对于实数m(0,1)，等式 (*) 能成立；3（3）在扩大后的x 取值范围内，若取m3, 求出使等式 (*) 成立的 x 值。提示：可化为 mx)1（ 2） x(,) （3） xtan(26最值问题典型错例242例 5.求函数 ysin x的最大值和最小值。134 cos2 x错解：原函数化为 4y sin2 xsin x9y0 ，关于 sin x 的二次方程的判别式(1) 24 4 y9 y 0，即1y1，所以 ymax1 ，ymin1。剖析：若取 y1，将导致sin x3的错误结论，此题错在忽12121212122视了隐含条件 |sin x|1。正解：原函数化为 4y si n2xsin x 9 y0 ，当 y0时，解得 sin x0 ，满足 sin x1当y0时，解得 sin x11144 y2，又sin xR，|sin x|1，则有1144 y20或8y11 144 y 2118 y1144 y 20，解得1y1，所以ymax1， ymin113131

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