辽宁省大连市第二十四中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理答案
4页1、答案本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,满分150分,时间120分钟第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.ADCCD ABABC AB第卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在题中的横线上.(13) (14) (15)(16) 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分10分)函数定义域为,(1)求函数的单调区间;(2)指出函数的极值点并求对应的极值.解:(1)得或,解得或得或,解得或所以单调增区间为和;单调减区间为和5分(2)由(1)可知,极大值点为从而和;极小值点为,从而10分 (18)(本小题满分12分)已知为实数(1)若,求;(2)若,求的值【答案】解:(1)因为6分(2)由条件,得,即,解得12分(19)(本小题满分12分)已知函数,对于正数,记,如图,由点构成的矩形的周长为(),都满足()求;()猜想的表达式用表示,并用数学归纳法证明【答案】()解:由题意知,又因为,所以令,得,又,且
2、,故令,得,故;令,得,故;4分()解:由上述过程猜想,下面用数学归纳法证明:当时,命题成立;假设时命题成立,即,则当时,又,故,由,代入得,即当时命题成立综上所述,对任意自然数n,都有成立12分 (20) (本小题满分12分)已知函数,其中,是自然对数的底数()若,求在处切线的方程;()若对任意均有两个极值点,一个在区间内,另一个在区间外,求的取值范围【答案】解:(1),又切线方程为 4分(2),设,它的图象是开口向下的抛物线,由题意对任意有两个不等实数根,且,则对任意,即,有,又任意关于递增,故,所以12分(21) (本小题满分12分)已知函数,() 讨论函数在区间上零点的个数;() 设,当时,试用反证法证明:与中至少有一个大于0解(1)由题可得,令设,令,得;令,得故在上递减,在上递增当或时,无零点当或时,有1个零点;当时,有2个零点6分(2)(反证法)假设都不大于0,即又设,所以,所以,因为不能同时取到最小值,从而,与矛盾。所以假设不成立,所以,在与中至少有一个大于012分(22)(本小题满分12分) 已知函数.(1)若函数在定义域内不单调,求的取值范围;(2)若对,恒有成立,求实数的最大值.解:(1),只要的最小值为负即可,从而.由基本不等式,从而4分(2)由题意问题等价于恒成立,所以必有,从而解得.从而当时,;时,.令,所以问题转化为:当时恒成立;当时恒成立.由,设,当时当时,.因为恒成立,所以,解得;同理可得,当时,也成立。所以实数的最大值为212分
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