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精编【北师大版】选修31数学：1.2从变量数学到现代数学精品导学案含答案

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常见问题

1、精编北师大版数学资料2从变量数学到现代数学在一本希腊诗文选(公元500年前后，大部分由语法学家梅特罗多勒斯编写)中，收录了丢番图的墓志铭：“墓中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起新婚的蜡烛五年之后天赐贵子，可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他走完了人生的旅途”有兴趣的同学可以算算丢番图到底活了多少岁(答案：84岁)1解析几何的创立是变量数学发展的第一个里程碑，1637年笛卡儿的著作_是这一里程碑的标志2现代数学发展的最初阶段，是以基础学科_、_、_的深刻变化为特征的，它反映了数学基础的深刻变化这些变化主要体现在研究对象的_、研究方法的_和新研究领域的形成上3_与_是现代代数中最重要的两个分支答案：1几何学2代数几何分析拓展创新3群论线性代数【例1】说说你对笛卡儿坐标系的了解答：笛卡儿从已知的天文、地理的经纬制度出发，指出每一对有序实数，即坐标(x，y)都对应于平面上唯一的一个点；反之，平面上每一个点都有唯一的一个坐标(x，y)与之对应根据这

2、种坐标思想，笛卡儿进一步考虑二元方程f(x，y)0的性质满足这个方程的x，y值有无穷多个，x值变化时y值随之变化，反之亦然，x，y的不同数值所确定的平面上许多不同的点形成一条曲线这样一个代数方程就可以通过几何直观的方法去处理反之，可以离开几何图形，用代数的方法研究几何的性质笛卡儿的几何学把数学引向了一个新的方向，说说其主要贡献【例2】简述对我国现代数学作出贡献的人物及其贡献答：对我国现代数学作出贡献的人物之一是华罗庚他一生硕果累累，是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数等方面研究的创始人和开拓者，并培养了许多学生，如陈景润人物之二是陈省身，他被国际数学界尊称为“微分几何之父”，他结合微分几何与拓扑方法，先后完成了两项划时代的重要工作：其一为黎曼流形的高斯博内一般公式，其二为埃尔米特流形的示性类论他也培养了许多优秀的学生，如吴文俊、丘成桐等17世纪后半叶，在变量数学的发展中主要形成的概念有_微积分极限的概念线性代数概率论计算机【例3】查资料了解费马大定理会下金蛋的鹅答：在我国，哥德巴赫猜想几乎尽人皆知，虽然它已具有250年的历史，但数论中最大的难题之一费马大定理至少已有350年

3、的历史无论中国还是西方，都知道直角三角形的三边(假设a，b为两直角边，c为斜边)有如下关系：a2b2c2.由此勾股定理可以得出一个著名的数论问题：满足不定方程x2y2z2的正整数解有没有？有多少？容易验证，3,4,5就是这个方程的一组解关于这个不定方程的完备结果出现在公元3世纪古希腊数学家丢番图的算术当中到了17世纪，费马看到算术中介绍x2y2z2的解时，突发灵感，在书的页边上写道：“将一个高于二次的幂分为两个同次幂，这是不可能的关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”这就是有名的费马大定理：(用现代语言叙述)当整数n2时，方程xnynzn不存在正整数解正是这个算术书的旁注激发了几乎所有优秀数学家的兴趣，他们经过无数的努力但都没能攻克它因此，西方把这个并没有证明的定理称为费马大定理由于在解决这个问题的过程中，它的研究带动了数论乃至整个数学的发展，给数学带来了新的理论、新的技术、新的方法，开拓了新的学科领域，从而促进了数学的进展因此，费马大定理被称为“会下金蛋的鹅”维尔斯(Wiles,1953)在经历了众多前人的努力后，费马大定理终于在1995年被英国数学家维

4、尔斯(Wiles,1953)证明了对这个困扰世间350多年的难题的解决充分显示了人类智慧的无限威力维尔斯因此连续获得了一系列大奖及其他荣誉，其中包括：19951996年度的沃尔夫数学奖；1996年的奥斯特洛夫斯基奖；1996年的美国国家科学院数学奖；1996年当选为美国国家科学院外籍院士费马大定理的证明被英国卫报称为是一项“世纪性的成就”，它充分反映出当今数学发展的特点之一各门学科的大联合简述费马的其他成就本节主要介绍了数学发展的基本脉络，使我们对于数学发展的特点和取得的重要成果有了进一步的认识与了解感受数学在人类发展中的意义及作用答案：1答：几何学首次明确提出点的坐标和变数的概念，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线例如，笛卡儿在解决古希腊数学问题帕波斯问题时，用二次方程表示圆锥曲线这是解析几何产生的重要标志几何学还引入了单位数的概念，使所有的几何量都统一于数的表示，把数与形结合起来在笛卡儿看来，面积和长度都是数值，没有二次量和一次量之分，这就冲破了传统几何中停留在“形”观念上的束缚，为实现“形”与“数”的结合开辟了道路他还利用实例深刻地指出：几何问题可以归结为代数问题，

5、用代数方法研究几何图形的性质具有极大的优越性几何学的整个思路与传统的方法大相径庭他认为“古人的几何学”所思考的只限于形相，而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚”，因此他主张“采取几何学与代数学中一切最好的东西，互相取长补短”正是这种敢于向传统和权威挑战的巨大勇气，以及大胆思索创新的精神，使笛卡儿为自己的科学发现开辟了一条崭新的道路建立解析几何23答：费马对解析几何、微积分和概率论的创建都有重要贡献，在数论方面的贡献尤为重要费马还提出并使用了坐标的概念，而且也使用了直角坐标系他定义了以下曲线(用现代的符号)：直线：d(ax)by；圆：b2x2y2；椭圆：b2x2ky2；抛物线：x2ay，y2ax；双曲线：xya2或x2b2ay2；等等费马还把抛物线x2ay和等轴双曲线xya2推广为xnan1y的形式由方程xnan1y确定的曲线，现在称为费马抛物线(当n0时)和费马双曲线(当n0时)类似地，他还推广了阿基米德螺线1643年，费马在一封信里简短地描述了三维解析几何的思想，他第一个把三元方程应用于三维解析几何，包括柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面指出含有三个未知量(变量)的方程表示一个曲面尽管费马对三维解析几何未能给出一个几何框架，但他却为之提供了代数基础.1650年，费马在论文“新型二阶或高阶方程分析中的指标问题”中指出：一个自变量的方程决定点的作图，两个自变量的方程决定平面曲线的轨迹的作图，三个自变量的方程决定空间中曲面的轨迹作图由对曲线性质的研究，费马得到了一种相当于微分法的法则按照这种方法，当函数经过极值点时，函数的前后两个值将是相等的：f(AE)f(A)0.费马把这个设想的等式称为“准等式”，用E去除这个等式，再令E消失：E00.由此求出的A就是f(x)的极值点实际上，这种方法相当于给出了现代微积分中函数取极值的必要条件

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