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2016年九年级数学上册小专题三特殊平行四边形中的最值问题北师大版

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常见问题

1、特殊平行四边形中的最值问题【例】（盐城中考）如图，把 EFP按图示方式放置在菱形 ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB ADAC上.已知 EP= FP= 4, EF= 4 3,Z BAD- 60，且 AB4 3.（1）求/ EPF的大小；(2) 若 AP= 6，求 AE+ AF 的值;若厶EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB AD AC上运动，请直接写出 AP长的最大值和最小值.【思路点拨】求/ EPF的大小，就是解 EFP通过作底边上的高转化为直角三角形解决；（2）这里/ BADFZ EPF=180, PE= PF,可通过构造全等三角形解决问题；（3）观察图形，作 PMLAB于M, AP的长随PM大小的变化而变化.【方法归纳】动态图形中最值问题关键要改变思考的角度，善于转化为另一个量的最值问题考虑.针对训练1.如图，/ MOI= 90,矩形ABCD的顶点A, B分别在边 OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边 0M上运动, 矩形ABCD勺形状保持不变，其中 AB= 2, BC= 1,运动过程中，点 D到点O的最大距离是多少？#A B两点，求线段AB2.以边长为2

2、的正方形的中心 0为端点，弓I两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于的最小值.E参考答案【例】过点P作PGL EF,垂足为 G.1/ PE = PF, PG丄 EF,. FG= EG= 2 3，/ FPG=Z EPG=/ EPF.1EP 4,.在 Rt FPG中，由勾股定理得 PG= 2. / PG= PF.:丄 PFG= 30 . /-Z FPG= 60 .:丄 EPF= 2/ FPG=120 .(20作PM丄AB PN丄AD,垂足分别为 M N.在菱形 ABCD中，Z DAC=Z BAC点P到AB AD两边的距离相等，即 Pg PN./在 Rt PME和 Rt PNF中，PMk PN PE= PF, Rt PME Rt PNF./ FN= EM.1在 Rt PMA中 ,Z PMA= 90 ,Z PAM= qZ DAB= 30 ，/ AM= 3 3.同理：AN= 3 3. AE+ AF= (AM EM)+ (AN+ NF)= AWAN= 6 3.(3) 当EF AC点P在EF右侧时，AP有最大值，当EFAC点P在EF左侧时，AP有最小值.故 AP的最大值为8, AP的最小值为4.针对训练1. 取AB的中点E,连接OE DE OD/ ODC OE+ DE /当O D E三点共线时，点 D到点O的距离最大.1/ AB= 2, BC= 1,/ OE= AE= AB= 1 , DE= AD+ aE =12+ 12 =2. OD的最大值为_2+ 1.2. T 四边形 CDEF是正方形，/Z OCD=Z ODB= 45,Z COD= 90 , OC= OD./ AOLOB /Z AOB= 90 . /Z COAZ AOD= 90,Z AODFZ DOB= 90 . /Z COA=Z DOB.Z OCAfZ ODB在 COA和 DOB中, OC= ODZ AOC=Z BOD/ COAA DOB./ OA= OB.tZ AOB= 90 ,/ AOB是等腰直角三角形.由勾股定理得 AB= .OA+ OB= 2OA要使AB最小，只要 OA取最小值即可，根据垂线段最短， OAL CD时，OA最小，四边形CDEF是正方形，/ FC丄 CD OD= OF= OC./ CA= DA.1/OA= 2CF= 1. /AB=2./ AB的最小值为 2.

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