平面几何在解析几何中的应用

1、平面几何在解析几何中的应用南昌大学附中 陈一君一、活用几何关系速解圆类问题在解析几何中，作为二次曲线的圆是研究直线的延续和学习圆锥曲线的基础.圆既是轴对称图，又是中心对称图形，其中蕴藏着诸多位置关系和数量关系，对于解析几何中圆的某些问题，若能活用题中几何要素的关系，解题就会变得简单而快捷，圆涉及的知识点主要有：圆中切割线定理、圆幂定理、垂径定理.活用圆的几何性质可以快速解决圆类问题，降低运算量，培养学生认真分析图形的几何性质，养成综合应用知识的习惯，提高解题技巧与能力.解题时，若能把握形的几何特征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习如何活用几何关系速解圆类问题.【例题】已知直线和圆相交于不同两点A，B，点在直线l上，且满足，当变化时，求的轨迹xylPTABC图1【常规解法】设点，则的参数方程为将（1）代入，得显然设方程（2）的两根为，由，依题意点在AB或BA的延长线上，即即为的轨迹方程，表示以为圆心，为半径的圆【点评】由联想到直线的参数方程中的几何意义虽然也很自然，但相对与参数方程在教材中的地位来说对更多高

2、三学生来说亦属不易，还有运算量相比较还是比较大的，时间成本的控制不如方法一需要说明的是如果不用直线的参数方程的方法，纯代数解几的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定时间内完成【利用圆的几何性质解法】圆的圆心由切割线定理，如图1所示，有，故点在圆外，点的轨迹方程为【点评】显然直线AB是圆的割线，运用平面几何知识中的切割线定理求轨迹就简单明了，结果是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制通过本节微专题学习，发现求解圆的问题时，若能充分揭示问题中的几何关系，灵活运用平面几何知识，解题则会事半功倍.切割线定理、圆幂定理、垂径定理是圆的对称性的反映，它们在圆中的应用程度非常之广泛.【针对训练】（2013年福建高考文科试题）如图，抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A点C在抛物线E上，以C为圆心，|OC|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M、N（I）若点C的纵坐标为2，求|MN|；（II）若，求圆C的半径【分析】本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识根据条件圆心C在抛物线上且过原点，解法如下：（）抛物线的准线l的方程为，由点C的纵坐标为2，得点C坐

3、标，所以点C到准线l的距离d=2，又|CO|=5所以（）【常规解法】设，则圆的方程为：，即，由， 设得到由，得， 此时圆心的坐标为或，从而得，即圆的半径为【利用圆的几何性质解法】抓住圆的几何特征结合垂径定理，从圆幂定理为切入点有下列简洁解法：设圆C与x轴交于不同的两点O、G由圆幂定理知：|AO|AG|AM|AN|由条件F，即|AM|AN|AO|AG|，由条件设，则，或，【点评】（I）涉及抛物线与圆的位置关系问题，关键要抓住圆心在抛物线上、圆过原点这些几何特征，结合垂径定理和根与系数关系解决问题（II）根据条件抓住几何特征通过圆幂定理解决，显然比标准答案所给的方法简单明了，关键就是充分利用了圆的几何性质化难为易、化繁为简，收到事半功倍的效果二、解析几何中巧用三角形相似简化计算解析几何是建立在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数方法解决几何问题的一门学科，它开创了数、形结合研究方法.解决解析几何问题的最大难度是如何把握好解题的总体思想策略.但在平时的解析几何教学中，师生往往偏重于相关量的数量关系的研究，摒弃了最基本，最直接的解题思路，不重视平面几何知识,但解析几何的“魂”还

4、是“几何”特征.在现代中学教学中，解解析几何时，可以灵活应用平面几何知识，找到简捷的解题途径，简化解析几何的解题过程，降低运算量.运用平面几何知识，能培养学生认真分析图形的几何性质，养成综合应用知识的习惯，提高解题技巧与能力.解题时，若能把握形的几何特征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习如何利用平面几何的三角形相似知识巧妙解决解析几何的问题.【例题】如图：椭圆的左右焦点为，上顶点为A，离心率，点P为第一象限内椭圆上的一个点，且则直线的斜率为 .【常规解法一】P到直线的距离和到轴的距离的比为2:1，设出P点坐标，进而求.F2AxyPF1OF2AxyPF1NMO设P(m,n)，由题意知直线，P到直线的距离,即（点P在直线AF1的右侧，可直接去掉绝对值符号）整理得（体现了设而不求）【常规解法二】A与到直线的距离的比为2:1，用点到直线的距离公式直接解出yF2AxPF1M2N1O设直线方程为,由与到直线的距离的比为2:1得到等式，即（注意点到直线距离公式中绝对值符号是如何去掉的）【利用相似比解法一】连接与交于点，

5、证明是线段的三等分点，进而求F2AxyPF1BMNO如图，作AM垂直于于点M，作垂直于点N，,连接交于点，由相似比知，所以是线段的三等分点，而，求出点坐标是，所以F2AxyPF1MNO【利用相似比解法二】AO与交于点B，证明B是线段AO的五等分点，就能得出B点坐标，进而求连接OP，知，由，得出，作AM垂直于点M，作ON垂直于于点N，设与y轴的交点为B，由相似比知，所以B是线段AO的五等分点，而，求出B点的坐标是，所以【评析】灵活地应用平面几何知识，可以快速化解题目的难点之处.几何分析是“形”向“数”的转化，是特殊性方法，是“数形结合”思想应用.通过本节微专题学习，对于某些解析几何问题，我们不一定都要通过常规方法入手，只要我们认真分析题目中几何量之间的关系，运用平面几何的观点来审题，认清题目的本质特征，然后再动笔，往往带来很多方便.要让学生在自然的代数过程中联系几何转化，不要刻意分割解析几何中的“数”与“形”，让数形结合思想真正融入解题思维里【针对训练】已知圆直线为l上的一点，射线OP交圆于点R，点Q在OP上，且满足，当P点在l上移动时，求点Q的轨迹方程.【分析】常规解法相当繁琐，令人头

6、疼.限于篇幅，这里不再展示常规解法，但是，如果采用三角形相似来解决的话，会很简单.解：如图所示，过点P作圆的切线PM，M为切点，连接MQ，易证由，得，即，故为定值，又故点Q的轨迹方程为.【点评】到目前为止,这是我所见到的本题最简洁的解法,简炼有力,令人惊叹！三、平面几何在求轨迹方程中的应用在最近几年的教学中，我发现了同学们学习中存在的一个普遍问题：学哪一段就用哪一段的方法，这样做产生的后果是:思路闭塞，运算繁琐.伴随着年龄的增长，同学们所掌握的数学方法越来越多，进入高中以后，特别是接触到解析几何后，我们不少同学就有点喜新厌旧了，把以前初中的平面几何知识抛到一边，认为有点过时了.其实不然，数学方法并没有过时的说法，一些简单地定理往往能带来令人意想不到的效果，如中线定理、角平分线定理、射影定理等平面几何中的基本知识，如果运用得当的话，就可以将你从解析几何繁复的运算中解放出来，甚至能让你拍案叫绝.求轨迹方程是解析几何中的两大基本问题之一，也是高考重点考查的内容.其方法多种多样，但在求轨迹方程中,如果能够充分利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大

7、家学习应用平面几何求解轨迹方程的问题.【例题】已知圆O的方程是，定点,如图作矩形APBQ（A、B两点在圆上）.求矩形的顶点Q的轨迹方程.xyA6-6OPBQM【常规解法】设，则：,又即.即所求矩形的顶点Q的轨迹方程为：.【点评】以上解法很常规，但其消元的过程是在太巧妙了！不易想到.除此之外，还可利用PA斜率K为参数，建立Q的参数方程来解决，但其运算过程相当复杂，不易求解.【利用中线定理几何性质解法】如上图，连接OP,OQ,OA,OB,OM（M为矩形APBQ的对角线的交点）由平面几何的中线定理知识可知：在中，在中，从而可得：，故为所求方程.【点评】在求轨迹方程中，充分利用平面几何知识，结合圆锥曲线的定义，在解题中，特别是在考试的客观题解答中，将使解题过程简单，迅速得出正确答案.通过本节微专题学习，发现求解解析几何的轨迹方程问题时，若能充分灵活运用平面几何知识（中线定理）快速地给出了解答，方法之妙令人叫绝，解题则会事半功倍.平时教学中，教师应注意这方面的指导.【针对训练】点A，B，C依次在直线l上，且AB=4BC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，为AB半径作圆，与是这个圆

8、的切线，求垂心的轨迹T1yMAxT2HNBC【分析】如图，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为的垂心，N为与AM的交点，记BC=1以A为圆心的圆方程为，连结，同理.又，是菱形.又设点H坐标为(x，y)，点M坐标为(5，b)，则点N坐标为，将坐标代入，再由，得在AB上取点K，使，所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆【点评】本题解法的可取之处在于娴熟的运用了平几知识，得出是菱形后，依据菱形对角线互相垂直得出直角三角形，利用直角三角形射影定理得出结论整个解法“平几味”甚浓，扣“形”不放，堪称数形结合的典范，事半功倍四、巧用投影优化计算高考的解析几何题，似曾相见曾相识，看似平淡需真功。很多时候，解析几何综合题的复杂性让许多学生望而却步，成为学生高考成败的关键。单纯地依赖代数方法解决几何问题，不光导致运算十分复杂，也有可能导致思路无法展开，能不能有效避开一些繁难计算，有时关注试题中的几何特征是解决解析几何问题的关键今天我们带领大家探讨是平面上两点间距离的转化问题，平面上两点间距离公式是先求平方和再开方，运算十分杂，但利用一条直线上两线段长度比值与它们在同一坐标轴上的投影比值相等性质，可将其转化为数轴上两点间距离，将二维运算简化为一维运算，能够化繁为简，打开“柳暗花明又一村”的新局面【例题】在平面直角坐标中，点与点关于原点对称，是动点且直线与的斜率之积为 （）求动点的轨迹方程（）； （）设直线和分别与直线交于点、，问是否存在点，使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【过程分析】试题中是两条动弦与椭圆相交，不再是一条直线与椭圆相交的位置关系，避开了常规的联立方程模式套路试题中涉及、五个点，而且点、是由点生成的，所以先要通过设点坐标为参变量，然后计算点、的坐标，再利用五个点坐标分别表示与的面积，将它们用引入参变量表示，利用它们相等的关系，进而求出的坐标【解析】思路一：计算长与点到的距离，到的距离，分别计算与两个面积，思路虽自然，运算有一定困难依题意：设、则直线方程：，直线方程：分别令，得，（多个字母参数的运算是学生死穴，这种计算比较复杂，学生在心理上就已经发抖、害怕）于是（、点坐标复杂导致三角形面积代数转化有困难）又直线的方程为，且到直线的距离 ，且，所以由题设条件，得又，所以，得代入椭圆方程，得，故存

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