高中数学必修2立体几何考题(附答案)
7页1、 高中数学必修2立体几何1如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是A1B1,B1C1的中点问:(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由解析:(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MNAC,因此AM与CN不是异面直线(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法探究拓展:解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手,经过推理、演算、变形等),如第(1)问,还有假设法,特例法,有时证明两直线异面用直线法较难说明问题,这时可用反证法,即假设两直线共面,由这个假设出发,来推证错误,从而否定假设,则两直线是异面的解:(1)不是异面直线理由如下:M、N分别是A1B1、B1C1的中点,MNA1C1.又A1AD1D,而D1D綊C1C,A1A綊C1C,四边形A1ACC1为平行四边形A1AAC,得到MNAC,A、M、N、C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线理由如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内,则B平面CC1D1,C平面CC1D1.BC平面CC1D1,这
2、与在正方体中BC平面CC1D1相矛盾,假设不成立,故D1B与CC1是异面直线2如下图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BB1的中点,O为面BCC1B1的中心(1)过O作一直线与AN交于P,与CM交于Q(只写作法,不必证明);(2)求PQ的长(不必证明)解析:(1)由ONAD知,AD与ON确定一个平面.又O、C、M三点确定一个平面(如下图所示)三个平面,和ABCD两两相交,有三条交线OP、CM、DA,其中交线DA与交线CM不平行且共面DA与CM必相交,记交点为Q.OQ是与的交线连结OQ与AN交于P,与CM交于Q,故OPQ即为所作的直线(2)解三角形APQ可得PQ.3如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBCB1Ba,ABC90,D、E分别为BB1、AC1的中点(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值;(2)证明:DE为异面直线BB1与AC1的公垂线;(3)求异面直线BB1与AC1的距离解析:(1)由于直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1BB1,所以A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角又ABBCB1Ba,ABC90,所以A1C1a,t
3、anA1AC1,即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为.(2)证明:解法一:如图,在矩形ACC1A1中,过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1,连结BM,B1M1,则BB1綊MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点,可得DE綊BM.在直三棱柱ABCA1B1C1中,由条件ABBC得BMAC,所以BM平面ACC1A1,故DE平面ACC1A1,所以DEAC1,DEBB1,即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线解法二:如图,延长C1D、CB交于点F,连结AF,由条件易证D是C1F的中点,B是CF的中点,又E是AC1的中点,所以DEAF.在ACF中,由ABBCBF知AFAC.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,所以AFAA1,故AF平面ACC1A1,故DE平面ACC1A1,所以DEAC1,DEBB1,即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离,由于ABBCa,ABC90,所以DEa.4如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O,M分别是BD1,AA1的中点(1)求证:MO是异面直线AA1和BD
4、1的公垂线;(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值;(3)若正方体的棱长为a,求异面直线AA1与BD1的距离解析:(1)证明:O是BD1的中点,O是正方体的中心,OAOA1,又M为AA1的中点,即OM是线段AA1的垂直平分线,故OMAA1.连结MD1、BM,则可得MBMD1.同理由点O为BD1的中点知MOBD1,即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线(2)由于AA1BB1,所以B1BD1就是异面直线AA1和BD1所成的角在RtBB1D1中,设BB11,则BD1,所以cosB1BD1,故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于.(3)由(1)知,所求距离即为线段MO的长,5如下图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDC.过BD作与PA平行的平面,交侧棱PC于点E,又作DFPB,交PB于点F.(1)求证:点E是PC的中点;(2)求证:PB平面EFD.证明:(1)连结AC,交BD于O,则O为AC的中点,连结EO.PA平面BDE,平面PAC平面BDEOE,PAOE.点E是PC的中点;(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD,PDDC,PDC是等腰直
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