【北师大版】九年级数学下册2.4 第1课时 图形面积的最大值1

1、 2.4 二次函数的应用第1课时 图形面积的最大值1能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)2通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想(难点)一、情境导入如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花圃的面积为ym2，那么yx(202x)试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探究探究点一：二次函数yax2bxc的最值 已知二次函数yax24xa1的最小值为2，则a的值为()A3 B1 C4 D4或1解析：二次函数yax24xa1有最小值2，a0，y最小值2，整理，得a23a40，解得a1或4.a0，a4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种是由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第1题探究点二：利用二次函数求图形面积的最大值【类型一】 利用二次函数求矩形面积的最大值 如图，在一面靠墙的空地

2、上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积解析：(1)根据AB为xm，则BC为(244x)m，利用长方形的面积公式，可求出关系式；(2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；(3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可解：(1)ABx，BC244x，SABBCx(244x)4x224x(0x6)；(2)S4x224x4(x3)236，0x6，当x3时，S有最大值为36；(3)4x6.所以，当x4时，花圃的面积最大，最大面积为32平方米方法总结：根据已知条件列出二次函数式是解题的关键但要注意不要漏掉题中自变量的取值范围变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型二】 利用割补法求图形的最大面积 在矩形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上分别选取点E，F，G，H，使得AEAHCFCG，如果AB60

3、，BC40，四边形EFGH的最大面积是()A1350 B1300 C1250 D1200解析：设AEAHCFCGx，四边形EFGH的面积是S.由题意得BEDG60x，BFDH40x，则SAHESCGFx2，SDGHSBEF (60x)(40x)，所以四边形EFGH的面积为S6040x2(60x)(40x)2x2100x2(x25)21250(0x40)当x25时，S最大值1250.故选C.方法总结：考查利用配方法求二次函数的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与函数的自变量的取值范围结合即可求出四边形EFGH的面积最大值变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第7题【类型三】 动点问题中的最值问题 如图，在矩形ABCD中，ABm(m是大于0的常数)，BC8，E为线段BC上的动点(不与B、C重合)连接DE，作EFDE，垂足为E，EF与线段BA交于点F，设CEx，BFy.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？(3)若y，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解析：(1)利用互余关系找角相等，证明BEFCDE，根据对应边的比相等求函数关系式

4、；(2)把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；(3)DEF90，只有当DEEF时，DEF为等腰三角形，把条件代入即可解：(1)EFDE，BEF90CEDCDE.又BC90，BEFCDE，即，解得y；(2)由(1)得y，将m8代入，得yx2x(x28x)(x4)22，所以当x4时，y取得最大值为2；(3)DEF90，只有当DEEF时，DEF为等腰三角形，BEFCDE，BECDm，此时m8x.解方程，得x6，或x2.当x2时，m6；当x6时，m2.方法总结：在解题过程中，要充分运用相似三角形对应边的比相等的性质建立函数关系式，是解决问题的关键变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】 图形运动过程中的最大面积问题 如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰PQR，PQPR5cm，QR8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰PQR重合部分的面积为Scm2.解答下列问题：(1)当t3秒时，求S的值；(2)当t5秒时，求S的值；(3)当5秒t8秒时，求S与t

5、的函数关系式，并求出S的最大值解析：当t3秒和5秒时，利用三角形相似求出重合部分的面积当5秒t8秒时，利用二次函数求出重合部分面积的最大值解：(1)如图，作PEQR，E为垂足PQPR，QEREQR4cm.在RtPEQ中，PE3(cm)当t3秒时，QC3cm.设PQ与DC交于点G.PEDC，QCGQEP.()2.SQEP436，S()26(cm2)；(2)如图，当t5秒时，CR3cm.设PR与DC交于G，由RCGREP，可求出CG，SRCG3(cm2)又SPQR8312(cm2)，SSPQRSRCG12(cm2)；图(3)如图，当5秒t8秒时，QBt5，RC8t.设PQ交AB于点H，PR交CD于点G.由QBHQEP，EQ4，BQEQ(t5)4，SBQHSPEQ(t5)242，又SPEQ6，SQBH(t5)2.由RCGREP，同理得SRCG(8t)2，S12(t5)2(8t)2t2t.当t时，S最大，S的最大值(cm2)方法总结：本题是一个图形运动问题，解题的方法是将各个时刻的图形分别画出，由“静”变“动”，再设法求解，这种分类画图的方法在解动态的几何问题时非常有效探究点三：利用二次函数解

6、决拱桥问题 一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图)，求抛物线的解析式；(2)求支柱EF的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m、高3m的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由解析：(1)根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2)设F点的坐标为(5，yF)，求出yF，即可求出支柱EF的长度；(3)设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和作GHAB交抛物线于点H，求出点H的纵坐标，判断是否大于汽车高度即可求解解：(1)根据题目条件，A，B，C的坐标分别是(10，0)，(10，0)，(0，6)设抛物线的解析式为yax2c，将B，C的坐标代入yax2c，得解得所以抛物线的解析式为yx26；(2)可设F点的坐标为(5，yF)，于是yF5264.5，从而支柱EF的长度是104.55.5(米)；(3)如图，设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(7，0)过G点作GHAB交抛物线于H点，则yH7263.063.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车方法总结：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计图形面积的最大值1求函数的最值的方法2利用二次函数求图形面积的最大值3利用二次函数解决拱桥问题由于本节课的内容是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.

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