确定磁场最小面积的方法

1、确定磁场最小面积的方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点， 而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0，从0点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为 30,同时进入场强为 E、方向沿与x轴负方向成60 角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。解析：（1 ）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁 场中偏转的半径一定， 且圆心位于Ob连线上，距0点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：2VoBqvo - mR解得mvqB过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图 2所示：要使磁场的区域有最小面积, 则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：由得r3mVo2qB所以圆形匀强磁场的最小面积为:3：m2v024q2B2(2)带电粒子进入电场后，由于速度方向与电

2、场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动 的合成知识有：联立解得Eqs si n30 =vts cos30At22而aqE第#页（共10页）第#页（共10页）二、参数方法例2.在xOy平面内有许多电子(质量为 m、电荷量为e)，从坐标原点0不断地以相同 的速率v0沿不同方向射入第一象限，如图 3所示。现加一个垂直于 xOy平面向里，磁感应 强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。第#页（共10页）解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点0沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的Ai点、半径为 只=空的圆。该电子qB沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界， 见图5。当电子速度方向与 x轴正向成角度71时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时， 速度方向必须平行于 x轴方向，设边界任一点的坐标为 S(x, y)，由图4可知：x 二 Rsin 二 y 二 RRcosv，消去参数 二得:2 2 2x （y - R） = R可以看出随着0的变化，S的轨迹是圆

3、心为（0, R）,半径为R的圆，即是磁场区域的 下边界。上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图面积减去等腰直角三角形面积的2倍。5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形Smin = 21 二r24R2图5二-22带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析江苏省扬中高级中学刘风华近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与 物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其 进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对 此类问题进行分析。一、磁场范围为圆形例i 一质量为、带电量为/的粒子以速度:从o点沿：轴正方向射入磁感强度 为J的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从:处穿过,L轴，速度方向与：轴正向夹角为30，如图1所示（粒子重力忽略不计）。第#页（共10页）试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从0点进入磁场区到达：点所经历的时间;（3）点的坐标。解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由 O点经半个圆

4、周偏转到一：点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到&点。可知，其离开磁场时的临界点与O点都在圆周上，到圆心的距离必相等。 如图2,过：点逆着速度的方向作虚线，与轴 相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于丄轴上，距0点距离和到虚线上点垂直距离相等的-1点即为圆周运动的圆心，圆的半径亠一 -。R二蚀，得 ：二。弦长一匚为:图2要使圆形磁场区域面积最小，半径应为.的一半，即:5二逅肛迢空222 招，面积(2)粒子运动的圆心角为1200,时间：(3)二距离3fflV0，故；点的坐标为(己- ,0)。点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。二、磁场范围为矩形例2如图3所示，直角坐标系I第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。现有一质量为，电量为:的电子从第一象限的某点 (二，匚)以初速度沿丄轴L的负方向开始运动，经过 :.轴上的点：.(，0)进入第四象限，先做匀速直线运动然 后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与

5、轴、；轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点Q并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。求iQ图3(1) 电子经过/点的速度-；(2) 该匀强磁场的磁感应强度_和磁场的最小面积 丄。解析:方向厂(1)电子从厂点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到邑二5，水平方向:二珈解得-点，可知竖直而-，所以电子经过点时的速度为:0o设r与-；方向的夹角为9，可知所以9 =30（2）如图4,电子以与=,；成30进入第四象限后先沿二二做匀速直线运动，然后 进入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿轴向上的速度经过 O点。可知圆周运动的圆心一 一定在X轴上，且_点到0点的距离与到直线：匸 上M点（M点即为磁场的边 界点）的垂直距离相等，找出 0点，画出其运动的部分轨迹为弧 MN0所以磁场的右边 界和下边界就确定了。设偏转半径为R ,由图知O Q = 4= ，解得込，方1,11/1 1 1i EP1CNB图4向垂直纸面向里。Lg丄R丄L矩形磁场的长度- :，宽度3气。矩形磁场的最小面积为：点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例1中运动的逆过程，解题思路相似，关键要注意矩形磁场边界的确定。三、磁场范围为三角形例3 如

6、图5, 个质量为 匸，带I电量的粒子在 BC边上的M点以速度r垂直于 BC边飞入正三角形 ABC为了使该粒子能在 AC边上的N点（CM= CN垂真于 AC边飞出 ABC可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：(1) 粒子在磁场里运动的轨道半径r及周期T;(2) 该粒子在磁场里运动的时间 t ;(3) 该正三角形区域磁场的最小边长；解析：avB = m T =(1 )由和：e2沏r =T-得：-,(2)由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到 N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的 切线方向并垂直于半径，如图 6作出圆0,粒子的运动轨迹为弧 GDEF圆弧在G点与初 速度方向相切，在 F点与出射速度相切。画出三角形一:二，其与圆弧在 D E两点相切，并与圆O交于F、G两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知/F0G= 600,所以粒子偏转的圆心角为 3000,运动的时间 W 去舀第#页(共10页)连接并延长与 二交与H点，由图可知一

7、小 ,aooli _ 2r + r cos30cos 30 cos 30点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度 与从AC边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能 确定。另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。四、磁场范围为树叶形例4 在平面内有许多电子（质量为 匸、电量为1 ）,从坐标 O不断以相同速 率:沿不同方向射入第一象限，如图 7所示。现加一个垂直于 ；平面向内、磁感强度 为J的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于:.轴向；正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。第#页（共10页）第#页（共10页）解析：电子在磁场中运动半径lS是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图 8所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆O和圆02为从第#页（共10页）圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在x轴上方的.个圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点0为圆心，以R为半径的圆弧 000。由于要求所有电子均平行于 x轴向右飞出磁场，

8、故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线 0Q）向上平移一段长度为说？的距离即图9中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积:nrr22e2B2图9第#页（共10页）第#页（共10页）还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V）与x轴夹角为0，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x, y）,从图10中看出， +（H,即（+XW1方程，圆心在（0, R）处，圆的圆弧部分即为磁场区域的下边界。10点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场 下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运 动形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运 动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后 应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。第#页（共10页）

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