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数值分析课后第二章习题解答

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卖家[上传人]：桔****

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1、第二章习题解答一、习题解答I用二分法求解卜列方程，要求误差不超过10-5(1) x-lnx=2在区间2,4内的根；(2) xex-l=O在区间0,1内的根：(3) ?+10=0在区间1,2内的根。解:(1)%18=3.14618c二分法程序2-1a=2;b=4;k=0;f=inline(,x-Iog(x)-2,);ya=f(a);while(b-a)0.00001x0=.5*(a+b);y0=f(x0);ifya*yOOb=xO;elsea=xO;ya=yO;endk=k+l;endformatlongdisp(xO,k)(2) M7=0.567146。(利用上面程序修改前两行)(3) 小7=1.365226。2证明方程lX-smx=0在区间0,1上有一根。使用二分法求误差不人于ixlO-4的根需二分多少次？证明令妙=1一x-sinx,则/(0)=1,/(l)=sml于是f(O)f()0,故所给方程在区间0,1上必有根。又因为广=-1-COSX所以，函数Ax)在区间0,1内单减。故，方程在区间0,1内只有一个根。利用二分法收敛定理，由得FM104,所以二分法求根至少需14次二分计算能满

2、足误差要求。3比较以卜两种方法求ev+10x-2=0的根到三位小数所需要的计算鼠。(D在区间0,1内用二分法；(2)用迭代法兀出=丄(2-产)，取初值心=0。M：(1)二分法迭代11次，心1=0.090。(利用第1题程序修改前两行)(2)不动点迭代5次，5=0.0905。不动点迭代程序x0=0;k=0;er=l;fi=inline(0.()001xl=fi(xO);er=abs(xl-xO);xO=xl;k=k+l;enddisp(xO,k)4给出求心=2+j2+石的迭代格式，并证明lim=2onco解取初值：兀=迈，迭代格式：%=J2+兀3=1,2,)。首先证明数列有上界。显然，x产2。设对k,有xk2成立，则对于(R+1)有兀火=(2+XpJ2+2=2由数学归纳法知，对任意有无0.00001x=exp（-xO）;er=abs（x-xO）;xO=x;k=k+l;end用Aitken加速方法，迭代公式为y,=exp（-心），J=exp（-儿）（S-儿）乙一2儿+仍取应=05,计算数据如Fk123Xk0.567623870.567143310.56714329当k=2时,|乃一兀2|=|

3、567143290.56714331|W10”。故取X*0.56714329MATLAB程序如卜x=0.5;er=l;k=0;whileer0.()0001y=exp(-x);z=exp(-y);xO=z-(y-z)A2/(z-2?y+x);er=abs(x-xO);x=xO;k=k+l;u(k)=x;end6应用牛顿迭代法J：方程xi-a=0.导出求立方根転的迭代公式，并讨论其收敛阶。解：令f(x)=xi-a,则牛顿迭代公式x：一ci2a出=兀_=丁乙+亍3兀33兀故迭代函数为2(p(x)=-x+,22aa0(x)=-0W=233xx将尤*=亦代入，得0(x*)=O,0(F)=2/咖故用牛顿迭代法求解方程?-=0,导出求立方根亦的迭代是二阶收敛。7用牛顿迭代法求解Leonard。方程X3+2x2+10x-20=0,要求|忑+1-也|10*。解：令/(0=十2“十10X20,则牛顿迭代公式x；+2x；+10x”-20F”3x;+4x+10容易验证/(1)几2)0,均收敛fV2o证明：对迭代格式，得兀出丄(尤+2),等式两端同减并进行配方，得2乙-V2=-(x-V2)22心同理可得2迈佥“厨将上面两式相除，得3_忑_(-厨X；忑(xn+V2)2反复递推，得(兀-d)_rXn-lV-|2;=.=f兀0_02小-迈Xo+V2(x/?+V2)2X。-a/2则仃化简，得#*浑1-旷对任意的心0,由于Iq00（2）取%0=4,用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10巳3）此迭代法的收敛阶是多少？22解：（1）令（px）=4+cosx,则（p（x）=-sinx。故对任意xeR,均有|（px）8（3）取xo=4,用迭代法计算得3.56423.39203.35413.34833.3475当k=5时，有不等式|X5-X4|1O-3成立，取方程根的近似值FS34752利用MATLAB绘图命令，将y二x和y=4+-cosx绘制曲线。观察可知方程只有一个根。9（4）由于（X）=-S111X在F23.3475附近不为零，故迭代法是一阶收敛。#

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