最新广东省广州市普通高中高考高三数学第一次模拟试题精选：数列05 Word版含答案
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1、 数列058、 已知数列，记, , ，并且对于任意，恒有成立（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式；（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列【答案】解：（1） ，所以为等差数列。 （2）（必要性）若数列是公比为q的等比数列，则，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。（充分性）：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是得即 由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列。 综上，数列是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。9、对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.(1) 若成等比数列,求的值；(2) 在, 的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命
2、题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数 列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？【答案】(1)由a32=a1a5， .2分即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0. .4分 (2) 解：an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列. .7分因为bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+3n-1=1+3M, .9分这里M=+3+3n-2为正整数，所以,bn=1+3M =1+3 (M+1)-1是an中的第M+1项，得证. .11分 (注：bn的通项公式不唯一) (3) 该命题为假命题. .12分由已知可得,因此,又,故 , .15分由于是正整数，且，则,又是满足的正整数，则,所以， ,从而原命题为假命题. .18分10、在平面直角坐标系中，点满足，且；点满足，且，其中（1）求的坐标，并证明点在直线上；（2）记四边形的面积为，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）由已知
3、条件得，,所以2分，则设，则，所以；2分即满足方程，所以点在直线上. 1分（证明在直线上也可以用数学归纳法证明.）（2）由（1）得 1分 设，则，所以， 逐差累和得，所以2分设直线与轴的交点，则，2分（3）由（2）， 2分于是， 2分数列中项的最大值为，则,即最小的正整数的值为，所以，存在最小的自然数，对一切都有成立.2分11、设数列满足且（）,前项和为已知点, ,都在直线上(其中常数且,， ),又 （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求实数，的值； （3）如果存在、，使得点和点都在直线上问 是否存在正整数，当时，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由【答案】（1）因为点都在直线上，所以，得， 2分其中 3分因为常数，且，所以为非零常数所以数列是等比数列 4分（2）由，得， 7分所以，得 8分由在直线上，得， 9分令得 10分（3）由知恒成立等价于因为存在、，使得点和点都在直线上由与做差得： 12分易证是等差数列，设其公差为，则有，因为，所以，又由，而得得 即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数， 16分使，, 即 解得因为，所以，即存在自然数，其最小值为，使得当 时，恒成立 18分
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