立体几何中最值问题

1、立体几何中最值问题【典例1】【20218陕西西安市长安一中】如图，已知三棱柱BCF - ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M、N两点分别在AF（2）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA + PN的最小值.【思路引导】（1）过点M作MG丄EF交EF于G，连结NG，通过证明平面MNG/平面BCF得线面 平行；（2）将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA + PN 最小.【典例 2 【2021山西省大同市大同一中期末模拟】兀已知梯形 ABCD 中，AD/BC，ZABC = ZBAD = -，AB = BC = 2AD = 4，E，F 分别是 AB，CD2上的点，EF / BC，AE二x,沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD丄平面EBCF （如图）.(1) 当X二2时，证明：EF丄平面ABE ；求二面角D - BF - E的余弦值；4(2) 三棱锥D - FBC的体积是否可能等于几何体ABE - FDC体积的9 ?并说明理由.【思路引导】(1)可证EF丄AE,EF丄BE，从而得到EF丄平面ABE如图，在平面AEG

2、D中， 过D作DG丄EF且交EF于G.在平面DBF中，过D作DH丄BF且交BF于H，连接GH .可证 ZDHG为二面角D - BF - E的平面角，求出DG和GH的长度后可求二面角的余弦值.(2)若存在，则V=5 V，利用体积公式可得关于x的方程，解方程后可得x二2，故假设成立.B-ADFE 4 D-BFC【典例 3 【北京市昌平区2020 届模拟】如图，在长方体ABCDAjBjCjDj中，E, H分别是棱A1B1, D&上的点(点E与B1不重合)，且EHAD过(I) 证明：AD平面EFGH；(II) 设AB=2AA1=2 a 在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点.记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内 的概率为p,当点E，F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时，求p的最小值.【针对训练】1.【2021浙江省杭州市第一中学高三上学期月考】（高三专题练习）设三棱锥P- ABC的每个顶点都在球O的球面上，APAB是面积为3、汚的等边三角形,AC丄BC， AC = BC，且平面PAB丄平面ABC.（1）求球O的表面积；（ 2）证明：平面 POC 丄 平面 ABC ，且平面

3、 POC 丄 平面 PAB .（3）与侧面PAB平行的平面a与棱AC，BC，PC分别交于D，E，F，求四面体ODEF的体积的 最大值.【思路引导】（1）先取AB的中点G,连接PG根据AC丄BC，得出AABC的外心为G.再因为PA = PB , 则PG丄AB .平面PAB丄平面ABC，平面PAB c平面ABC = AB，所以PG丄平面ABC，球心O在PG上.得出O是线段PG上靠近点G的一个三等分点.然后求出球的半径R，则得出球的表面积为.（2）根据O在PG上，则PO丄平面ABC，又PO u平面POC，则有平面POC丄平面ABC .再证平面PAB丄平面ABC，所以有CG丄平面PAB，又CG u平面POC，即可证得平面POC丄平面PAB .（3）先求C到平面PAB的距离H .设CD = XCA（0X 1）,C到平面DEF的距离为h.由平面PAB 平面DEF，得到三角形相似A DEF AABP，则可得ADEF的面积，求出h = ，得到O到平面DEF的距 离为朽-3，则四面体ODEF的体积V = 3九2（1-九）.转化为函数，利用导函数求得最大值.2 【安徽省安庆市 2020 届模拟】如图， A

4、BC内接于圆O, AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC丄平面ABC ,AB = 2, EB 3 (1) 求证：DE丄平面ADC ；(2) 设AC = x , V(x)表示三棱锥B - ACE的体积，求函数伙(x)的解析式及最大值.【思路引导】(1) 要证(1)要证DE丄平面ADC，需证BC丄平面ADC，需证DC丄BC，BC丄AC，用综合法书 写即可(2) 由(1)可知BE丄平面ABC，所以体积为3BExsab , AC二x，BC-x2, EB二勇，利用 均值不等式求解最大值3 【2021 山东省菏泽市菏泽一中模拟测试】如图，在正三棱柱ABC - A1B1C1中，AB = 2，AA1 = 2，由顶点b沿棱柱侧面经过棱A到顶点q的最 短路线与A”的交点记为M，求：1）三棱柱的侧面展开图的对角线长AM（2）求该最短路线的长及的值；（3）三棱锥Ci - ABM体积.思路引导】（1）由正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2 的矩形求解.AM1 AM（2）将侧面AA1BB绕棱AA1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接O(3)根据CC/平面ABMDC1

5、交于M，则DC1即为所求；然后由ADMA总C1MA1求解利用等体积法，由V= VC-ABM = VM-ABC求解.4 【北京市城六区2019 届高三模拟】已知三棱锥P-ABC （如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，AABE 和ABCF均为正三角形，在三棱锥P - ABC中：证明：平面PAC丄平面ABC；（n）求二面角A - pc - b的余弦值；CM1 2BN（皿）若点M在棱PC上满足，仁 匕,了,点N在棱BP上且BM丄AN，求的取值范CP3 3BP围【思路引导】第一问取AC中点O，根据等腰三角形的性质求得PO丄AC，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得 PO丄OB，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立 空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问 利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0得出所求的比值卩与九的关系式， 利用函数的有关知识求得结果.参考答案【典例1】【20218陕西西安市长安一中】如图，已知三棱柱BCF - ADE的侧面CFED

6、与ABFE都是边长为1的正方形，M、N两点分别在AF（2）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA + PN的最小值.【思路引导】（1）过点M作MG丄EF交EF于G，连结NG，通过证明平面MNG/平面BCF得线面 平行；（2）将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA + PN 最小.CN FM FG【解析】（1）过点M作MG丄EF交EF于G ,连结NG ,则 =NE MA GENG/CF又 NG 立面 BCF，CF u 面 BCF，. NG / 面 BCF同理可证MG/面BCF，又MG n NG二G，.平面MNG/平面BCFMN u 平面 MNG，MN/ 面 BCF .（2）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内,则当点A、P、N在同一直线上时，PA + PN最小，在 AEN 中，ZAEN = 135 , AE = 1, NE =2由余弦定理得 AN2 = AE2 + EN2 - 2AE - ENcos135 AN 二，即（PA + PN）=竺.兀已知梯形 ABCD 中，ADIIBC , ZABC = ZBAD = -

7、, AB = BC = 2AD = 4 , E , F 分别是 AB , CD2上的点，EFIIBC , AE = x,沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD丄平面EBCF （如图）.ECB（1）当x = 2时，证明：EF丄平面ABE ；求二面角D - BF - E的余弦值；4（2）三棱锥D - FBC的体积是否可能等于几何体ABE - FDC体积的9 ?并说明理由.【思路引导】（1）可证EF丄AE,EF丄BE，从而得到EF丄平面ABE如图，在平面AEGD中， 过D作DG丄EF且交EF于G .在平面DBF中，过D作DH丄BF且交BF于H，连接GH .可证 ZDHG为二面角D - BF - E的平面角，求出DG和GH的长度后可求二面角的余弦值.（2）若存在，则V=5V，利用体积公式可得关于x的方程，解方程后可得x = 2，故假设成立.B- ADFE 4 D-BFC-【解析】（1）在直角梯形ABCD中，因为ZABC = ZBAD =-，故DA丄AB,BC丄AB2因为EFIIBC，故EF丄AB .所以在折叠后的几何体中，有EF丄AE，EF丄BE而 AE BE = E ，故 EF 丄 平面

8、ABE. n如图，在平面AEFD中，过D作DG丄EF且交EF于G . 在平面DBF中，过D作DH丄BF且交BF于H，连接GH . 因为平面AEFD丄平面EBCF，平面AEFD c平面EBCF = EF DG u平面AEFD，故DG丄平面EBCF因为BF u平面EBCF，故DG丄BF，而DG DH = D 故BF丄平面DGH，又GH u平面DGH，故GH丄BF 所以ZDHG为二面角D - BF - E的平面角，在平面 AEFD 中，因为 AE 丄 EF,DG 丄 EF ，故 AE /DG ，又在直角梯形ABCD中，EF/BC且EF = *（BC + AD）= 32故EFIIAD，故四边形AEGD为平行四边形，故 DG = AE = 2 ， GF = 12在直角三角形BEF中，tan ZBFE = 3，因ZBFE为三角形内角，22故 sin ZBFE =帀，故 GH = 1x sin ZBFE =帀tan ZDHG =亠=J13 故丄13因ZDHG为三角形内角，故cos ZDHG=罟.所以二面角D - BF - E的平面角的余弦值为144（2 ）若三棱锥D - FBC的体积等于几何体ABE

9、 - FDC体积的，995则 V + V=-V即 V=-V.B- ADFED-BFC 4 D-BFCB- ADFE 4 D-BFC由（1）的证明可知，DG丄平面BEFC同理可证BE丄平面AEFD , AE = DG.故V = x BE x S，其中S1为直角梯形ADFE的面积.B-ADFE 311而V =-xDGxS=1xAExSD - BFC 3BCF 3BCF所以S1（ X 2+ 4 x f 2所以V -ADFE（ 、乂 + 4 x= 1x（4 x ）x（ 、乂 + 4 x1 2丿6J 2丿j=3 x（4-x）x 2又 S= 1 x BE x BC = 2（4 - x）BCF 2故VD-BFC=x x x 2（4 x ），所以 x36（4 - x ）x（ 、x 2+ 4 xj 2丿51=_x xxx4 32（4-x）解得 x = 2 ，4 故当AE = 2时，三棱锥D FBC的体积等于几何体ABE FDC体积的.9【典例 3 【北京市昌平区2020 届模拟】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E, H分别是棱A, D&上的点（点E与B1不重合），且EHAD过 EH的平面与棱BB,

《立体几何中最值问题》由会员鲁**分享，可在线阅读，更多相关《立体几何中最值问题》请在金锄头文库上搜索。