时间序列分析实验报告

1、基于matlab的时间序列分析在实际问题中的应用时间序列分析(Time series analysis)是一种动态数据处理的统计方法。该方法基于随机过程理论和数理统计学方法，研究随机数据序列所遵从的统计规律，以用于解决实际问题。时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象和其他现象之间的内在的数量关系及其变化规律性，而且运用时间序列模型可以预测和控制现象的未来行为，以达到修正或重新设计系统使其达到最优状态。时间序列是指观察或记录到的一组按时间顺序排列的数据。如某段时间内。某类产品产量的统计数据，某企业产品销售量，利润，成本的历史统计数据；某地区人均收入的历史统计数据等实际数据的时间序列。展示了研究对象在一定时期内的发展变化过程。可以从中分析寻找出其变化特征，趋势和发展规律的预测信息。时间序列预测方法的用途广泛，它的基本思路是，分析时间序列的变化特征，选择适当的模型形式和模型参数以建立预测模型，利用模型进行趋势外推预测，最后对模型预测值进行评价和修正从而得到预测结果。目前最常用的拟合平稳序列模型是ARMA模型，其中AR和MA模型可以看成它的特例。一时间

2、序列的分析及建模步骤（1） 判断序列平稳性， 若平稳转到（3），否则转到（2）。平稳性检验是动态数据处理的必要前提，因为时间序列算法的处理对象是平稳性的数据序列，若数据序列为非平稳，则计算结果将会出错。在实际应用中，如某地区的GDP，某公司的销售额等时间序列可能是非平稳的，它们在整体上随着时间的推移而增长，其均值随时间变化而变化。通常将GDP等非平稳序列作差分或预处理。所以获得一个时间序列之后，要对其进行分析预测，首先要保证该时间序列是平稳化的。平稳性检验的方法有数据图、逆序检验、游程检验、自相关偏相关系数、特征根、参数检验等。本实验中采用数据图法，数据图法比较直观。（2） 对序列进行差分运算。一般而言，若某序列具有线性趋势，则可以通过对其进行一次差分而将线性趋势剔除掉。差分的实质是自回归。对线性趋势的序列，一阶差分即可提取确定性信息若序列具有二次趋势，则两次差分后可变换为平稳序列，若序列具有d次多项式趋势，则通过d次差分后可变为平稳序列。（3） 计算序列的自相关系数和偏相关系数，判断截尾性，对序列模型进行识别。若序列自相关系数在q步截尾(即kq时，显著的等于零)并且偏相关系数被负指数

3、函数收敛到零，则可判断为MA(q)序列。若序列偏相关系数在p步截尾，并且序列自相关系数被负指数函数控制收敛到零，则可判断凡为AR(p)序列。若序列和序列皆不截尾，且自相关系数和偏相关系数都被负指数函数控制收敛到零 则序列为ARMA序列。以上都不满足，则序列是非平稳的。（4）对模型阶数进行估计模型定阶的方法有残差方差图法，自相关函数和偏自相关函数法，F检验法，最佳准则函数法等。本实验采用自相关函数和偏自相关函数法和AIC准则。（5）估计模型参数。不论是那种时间序列模型，要建立完整的估计方程就需要知道其中的参数。可以用矩估计、最小二乘估计、极大似然估计等方法得到模型中的参数。本实验采用最小二乘估计。（6）模型适应性检验及优化，计算残差方差是否最小，若是最小转到（7），否则转到（4）。 模型的适应性检验实质上是对at的独立性检验，如果得到的模型已经是适应性模型，那么at一定是完全或基本上接近独立的，这时若再增加模型的阶数，新增加的参数可能接近等于0，剩余平方和也不会因增加模型的阶数而显著减小。常用的适应性检验方法有：散点图法，估计参数法，F检验法等。估计参数法比较粗略。（7）根据参数建立方程

4、，预测序列未来走势等。将各个模型的参数估计出来之后，结合估计出来的模型的阶数，可以根据各个模型的估计方程建立具体的估计方程，代入已知的时间序列的项从而对时间序列中的未来的项进行预测。其中模型方程中的白噪声序列可以通过时间序列本身经过相关处理生成。二实验内容对我国 19782005 年的 GDP 进行建模分析并对2006-2011年的GDP进行预测，并与实际值比较，估计预测质量。实验利用MATLAB软件进行建模仿真及预测。我国 19782005 年的 GDP值列于下表1表1为我国1978-2005年的GDP (亿元)1978年1979年1980年1981年1982年1983年1984年1985年1986年1987年1988年1989年1990年1991年90161992年1993年1994年1995年1996年1997年1998年4789731999年2000年2001年2002年2003年2004年2005年（1）对序列做预处理，判断平稳性设原序列数据表示为共28个数据，由序列图明显看出序列不平稳，做一阶差分运算后数据平稳。再对数据进行标准化处理，对差分后的数据序列求均值：标准差标准化

5、处理公式为数据预处理前后的对比图和标准化处理后的图如下：图1 一次差分前后序列图对比图2 数据标准化后的图（2）计算自相关和偏相关系数，对序列的模型和阶数进行判断判断依据是：AR模型自相关系数拖尾，偏相关系数截尾。 MA自相关系数截尾，偏相关系数拖尾。ARMA自相关和偏相关系数都拖尾。自相关系数拖尾可根据点图来判断，只要愈变愈小（k增大时）。对于，常采用的方法是：当kp时，平均20个中至多有一个使，则认为截尾在k=p处，因为当N很大时，样本偏相关函数（kp）近似服从正态分布。自相关系数和偏相关系数如图3和4所示。从图中可以看出自相关系数具有拖尾性，不是MA模型，偏相关系数在1之后=0.378，渐进趋于零。所以可以判定序列模型是AR模型，初步判定为1阶。也可认为模型的阶数为2，考虑到2阶计算量也不是很大，所以定为2阶。处理后序列自相关系数 示于表一。样本的偏相关函数，. 示于表二。表一 自相关系数表表二 偏相关系数表图3 自相关系数图图4 偏相关系数图（3）对模型参数进行估计用最小二乘法对模型参数进行估计，计算10阶以内模型残差和AIC值。程序中求得的模型参数为W = 即， 由估计参数得

6、到估计的模型为AIC （1:10）分别是45.7633 47.6823 50.5318 -Inf 56.5359 59.6818 AIC准则是取使其值最小的n的值模型阶数为1时，AIC值最小，阶数为2时略大一些。可以认为选模型阶数为2阶适合。（4）模型的适应性检验检验是否为白噪声，求它的自相关系数，看其是否接近零，编程求得自相关系数，可以看成接近零，模型阶数选取为2时适合。（5） 用该模型对2006-2011年的GDP进行预测建立的序列模型是 带入各年值得到预测值 。从表4和图5 AR(2)模型样本逼近预测曲线中看出，估计的相对偏差不大，序列建模比较适合，预测效果好。表4 2006-2011年的GDP预测值年份实际值（亿元）预测值（亿元）相对偏差20062094072058101.7%20072495302403003.7%20083140452888008.0%20093405073603805.8%20103979833922301.4%2011未知453510图5 AR(2)模型样本逼近预测曲线二实验结论通过对具体的实验数据的建模的过程，从模型选择、模型阶数和参数的确定，以及模型

7、预测等一系列的实际编程实验，对课程学习的内容不懂的地方有了进一步的理解，同时也体会到用理论知识解决实际问题的乐趣。三实验程序clear; 16992.3 18667.8 21781.5 26923.5 35333.9 48197.9 60793.7 71176.6 78973 84402.3 89677.1 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183084.8 209407 249530 314045 340507 397983;for i=2:33 S(i)=P(i)-P(i-1);endYt=S(2:28);figure;axis(1975 2005 0 200000);plot(P);set(gca,xticklabel,1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005)title(原数据序列图);xlabel(时间年),ylabel(GDP值);hold on; plot(Yt,r);title(一次差分后的序列图和原数对比); Ux=sum(Yt)/27; % 求均值b=0;for i=1:27 b=yt

8、(i)2/27+b;endv=sqrt(b); % 求序列方差Yt=(Yt-Ux)/v; 数据标准化figure;axis(1975 2005 0 200000);plot(Yt,r);set(gca,xticklabel,1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005)title(数据标准化处理后的图);xlabel(时间年),ylabel(GDP值);R0=0;for i=1:27 R0=Yt(i)2/27+R0;endR0;for k=1:20 R(k)=0; for i=k+1:27 R(k)=Yt(i)*Yt(i-k)/27+R(k); end R; %自协方差函数 endx=R/R0; %自相关系数xfigure;plot(x)grid ontitle(自相关系数分析图); X1=x(1);X11=x(1)/1;B=x(1) x(2);x2=1 x(1);A=toeplitz(x2); X2=AB;X22=X2(2);B=x(1) x(2) x(3);x3=1 x(1) x(2);A=toeplitz(x3); X3=AB;X33=X3(3);B=x(1) x(2) x(3) x(4);x4=1 x(1) x(2) x(3);A=toeplitz(x4); X4=AB;X44=X4(4);B=x(1) x(2) x(3) x(4) x(5);x5=1 x(1) x(2) x(3) x(4);A=toeplitz(x5); X5=AB;X55=X5(5);B=x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6);x6=1 x(1) x(2) x(3) x(4) x(5);A=toeplitz(x6); X6=AB;X66=X6(6);B=x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7);x7=1 x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6);A=toepl

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