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【数学】球的表面积和体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

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1、8.3.2球的表面积和体积球的概念球的概念与定点的距离等于定长的点的集与定点的距离等于定长的点的集合，叫做合，叫做。半圆以它的直径为旋转轴，旋半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做转所成的曲面叫做球面球面.球面所球面所围成的旋转体叫做围成的旋转体叫做球体球体.球的旋转定义球的旋转定义球的集合定义球的集合定义与定点的距离等于或小于定长的与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做点的集合，叫做球体球体。球面球面球表面积公式球表面积公式：球体积公式球体积公式：解设球的半径为设球的半径为R，则，则4R24，解得，解得R1，所以球的表面积所以球的表面积S4R243236.c题型一球的表面积与体积(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的倍倍.(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的倍倍.(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是 .(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比

2、是 .随堂练习随堂练习影响球的表面积及体积的只有一个元素，影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是就是球的半径球的半径.球半径的求法球半径的求法n方法一：方法一：直接法直接法n方法二：方法二：构造直角三角形构造直角三角形n方法三：方法三：补形补形一、直接法一、直接法正方体的内切球正方体的内切球,棱切球棱切球,外接球外接球正方体与球正方体与球切点：切点：球心：球心：直径：直径：o球的直径等于正方体棱长。一、正方体的内切球一、正方体的内切球各个面的中心各个面的中心。正方体的中心正方体的中心。相对两个面中心连线相对两个面中心连线。例题2(2015年年全全国国卷卷改改编编)一一个个球球内内切切于于棱棱长长为为2的的正正方方体体，求它的表面积。求它的表面积。题型三球的切接问题A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O大显身手我最棒大显身手我最棒二、正方体的棱与球相切（棱切球）二、正方体的棱与球相切（棱切球）球的直径等于正方体一个面上的对角线长切点：切点：球心：球心：中学学科网中学学科网直径：直径：各棱的中点各棱的中点。正方体的中心正方体的中心。“对棱对棱”中

3、点连线中点连线例例3 3、一个球与这个棱长为一个球与这个棱长为2 2的正方的正方体各条棱相切，求它的体积。体各条棱相切，求它的体积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OABCDD1C1B1A1O对角面对角面正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。三、正方体的外接球三、正方体的外接球例例4 4、一、一个球过这个棱长为个球过这个棱长为2 2的正方体的的正方体的各个顶点，求这个球的表面积各个顶点，求这个球的表面积.A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O正方体的内切球，棱切正方体的内切球，棱切球，外接球球，外接球三个球心合一三个球心合一半径之比为半径之比为：长方体的外接球长方体的外接球对角面对角面例例5 5、长长方体的一个方体的一个顶顶点上三条棱点上三条棱长长分分别别是是3,4,53,4,5，且，且它的它的8 8个个顶顶

4、点都在同一球面上，点都在同一球面上，则这则这个球的表面个球的表面积积是是（）A A2525 B B 50 50 C C 125 125 D D都不都不对对练习练习.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的它的各个顶点都在球各个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O正方体的外接球正方体的外接球变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。关键关键：找正方体的棱

5、长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系二、构造直角三角形二、构造直角三角形球的性质球的性质 1.用一个平面去截球，截面是用一个平面去截球，截面是圆面圆面；用一个平面去；用一个平面去截球面，截球面，截线是截线是圆圆。大圆大圆-截面过球心截面过球心,半径等于球半径半径等于球半径;小圆小圆-截面不过球心截面不过球心A2.球心和截面圆心的连线球心和截面圆心的连线垂直垂直于截面于截面OABC解析如图，设截面圆的圆心为O，M为截面圆上任一点，反思与感悟反思与感悟：利用球半径、截面圆半径、：利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把球心到截面的距离构建直角三角形是把空间空间问题问题转化为转化为平面问题平面问题的主要途径的主要途径.MOOMOO三、三、补形法补形法ACBPO O类型一、棱两两垂直类型一、棱两两垂直ADCBPC变式变式1.1.类型二、直棱柱类型二、直棱柱解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理弦值再利用正弦定理得到小圆半径得到小圆半径，从而解决问题。，从而解决问题。ABCDOABCDO求正四面体外接球的半径求正四面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径类型四、正四面体与球类型四、正四面体与球

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