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概率论与数理统计知识总结之第一章

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常见问题

1、类似地，称UA为事件A,A,A的和事件；称UA为可列个事件A,A,第一章概率论的基本概念确定性现象：在一定条件下必然发生的现象随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象随机试验：具有下述三个特点的试验：1.可以在相同的条件下重复地进行2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现样本空间：将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S样本点：样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点样本空间的元素是由试验的目的所确定的。随机事件：一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。必然事件：样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。不可能事件：空集F不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。事件间的关系与运算：设试验E的样本空间为S，而A,B,A（k=1,2,)是S

2、的子集。k1.若AB，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必然导致事件B发生。若AB且BA,即A=B，则称事件A与事件B相等。2.事件AB=xxA或xB称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件AB发生。nk12nk12k=1k=1的和事件。3.事件AB=xxA且xB称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A,B同时发生时，事件AB发生。AB记作AB。类似地，称IA为n个事件A,A,A的积事件；称IAnk12nk为可列个事件k=1k=1A,A,的积事件。124.事件A-B=xxA且xB称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生。5.若AB=f，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。这指的是事件A与事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。6.若AB=S且AB=f,则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件A,B中必有一个发生。A的对立事件A.A=S-A.设A,B,C为事件，则有交换律：AB=BA;AB=BA.结合律：A(BC)=(AB)C;A(BC)=(AB)C.分配律：A(BC)=(

3、AB)(AC);A(BC)=(AB)(AC).德摩根律：AB=AB;AB=AB.频率与概率频率：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n，A称为事件A发生的频数，比值n/n称为事件A发生的频率，并记成f(A)An频率的基本性质：1.0f(A)1n2.f(S)=1n3.若A,A,A是两两互不相容的事件，则12kf(AAA）=f（A)+f（A）n12kn1nk概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：1.非负性2.规范性：对于必然事件S，有P(S)=13.可列可加性：P(AA）=P（A）+P(A)+1212概率的性质：1.P(F)=02.(有限可加性）若A，A，,A是两两互不相容的事件，则有12nP（AAA）=P(A)+P(A)+P(A)12n12n3.设A,B是两个事件，若AB，则有P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)P(A)4.对于任一事件A，P(A)15.对于任一事件A，有P(A)=1-P(A)6.对于任意两事件A,B有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB

4、)一般地，对于任意n个事件A,A,A，可以用归纳法得出12n）=P(A)-P(AAA12nni=1iP(AA)+ij1ijnAAA+ijk1ij0，称P(BA)=P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.条件概率P(A)的性质：1.非负性:P(BA)02.规范性：对于必然事件S，有P(SA)=13.可列可加性：设B,B,是两两互不相容的事件，则有12iii=1对于任意事件B,C,有P(BCA)=P(BA)+P(CA)-P(BCA)乘法定理：设P(A)0，则有P(AB)=P(BA)P(A)一般，设A,A,A为n个事件，n2,且P(AAA)0,则有12n12n-1P(AAA)=P(AAAA)P(AAAA12nn12n-1n-112n-2)P(AA)P(A)211划分：设S为试验E的样本空间，B,B,B为E的一组事件，若12n1.BiBj=f,ij,i,j=1,2,n2.BBB=S,12n则称B,B,B为样本空间S的一个划分12n全概率公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B,B,B为S的一个划分，且12nP(B)0(i=1,2,n)，则iP(A)=P(AB)P(

5、B)+P(AB)P(B)+P(AB)P(B)1122nnP(BA)=P(AB)P(B)/P(AB)P(B)贝叶斯公式：A设试验E的样本空间为S，为E的事件，B,B,B为S的一个划分，且P(A)0，12nP(B)0(i=1,2,n),则iniiijjj=1先验概率：根据以往数据分析得到的概率后验概率：在得到信息之后再重新加以修正的概率独立性：设A,B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立，简称A,B独立定理一：设A,B是两事件，且P(A)0，若A,B相互独立，则P(BA)=P(B),反之亦然。定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B,A与B,A与B设A,B,C是三个事件，如果满足等式：P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立。一般，设A,A,A是n(n2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，12n任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A,A,A相12n互独立。推论：1.若事件A,A,A(n2)相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也是相互12n独立；2.若n个事件A,A,A(n2)相互独立，则将A,A,A中任意多个事件换12n12n成它们的对立事件，所得的n各事件仍相互独立

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