高考数学三轮讲练测核心热点总动员新课标版 专题17 数列的基本运算大题、三角形的解答题 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【20xx新课标全国】如图，在ABC中，ABC90，AB=，BC=1，P为ABC内一点，BPC90(1)若PB=，求PA；(2)若APB150，求tanPBAABCP【解析】（1）利用余弦定理可以求出PA；（2）在中使用正弦定理可以得到，进而化简，得到结论.2.【20xx新课标全国】已知等差数列的前项和满足，.（）求的通项公式；（）求数列的前项和.【答案】依题意，故，所以，所以，即；（2）；【解析】（1）利用等差数列的前n项和公式构造二元一次方程组进行求解；（2）使用裂项法求和.3.【20xx高考全国1第17题】已知数列的前项和为，其中为常数，（I）证明：；（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.4.【20xx高考全国1文第17题】已知是递增的等差数列，是方程的根.（I）求的通项公式；（II）求数列的前项和.【解析】（1）方程的两根为2,3，由题意得.设数列的公差为d，则，故，从而.所以的通项公式为.（2）设的前n项和为，由（1）知，则，.两式相减得所以.5.【20xx全国2】在中，是上的点，平分，是面积的2倍(1)求

2、；(2)（理）若 ，求和的长.(2)（文）若，求.（2）理：由题意知，所以. 又因为，所以在和中，由余弦定理得，故由(1)知，所以即所求为，.(2)文：因为，所以.由(1)知，所以，即.6.【20xx全国1理17】为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和7.【20xx全国1文】已知分别为内角的对边，.（1）若，求；（2）设，且，求的面积.解析 （1由正弦定理得，.又，所以，即.则.（2）解法一：因为，所以，即，亦即.又因为在中，所以，则，得.所以为等腰直角三角形，得，所以.解法二：由（1）可知，因为，所以，将代入得，则，所以.【热点深度剖析】1.新课标高考对数列的考查重点是考查等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和公式，简单递推数列问题、分组求和、拆项相消、错位相减、倒序求和等常见数列求和方法通过三年的高考试题也可以发现，试题的位置均为第一大题，试题难度中下，主要以等差数列等比数列为背景考查数列的通项公式和数列求和问题，不在考查递推数列问题. 20xx年理科考查了解三角形，文科考查等差数列定义以及数列求和的方法，考查学生对定义的理解以及逻辑思维能力

3、，20xx年理科考查了递推公式，数列的通项公式，等差数列，文科考查了等差数列的基本量计算，数列的求和，试题难度中等偏下.20xx年问题四份试卷有3分考生解三角形，1份考查数列。 从近几年的高考试题来看，等差数列，等比数列作为最基本的数列模型，一直是高考重点考查的对象难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查预测20xx年高考解答题考查数列的可能性较大，重点是等差等比数列的通项、求和及错位相减法求和、裂项求和。重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力理科可能与不等式恒成立巧妙结合出一大题2. 20xx年高考文理主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力和利用三角形面积求边长. 20xx年理科考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合的能力以及转化与化归能力， 20xx年文理都没考查.从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决

4、一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题预测20xx年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，可能与三角函数的图象和性质等交汇命题，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力【重点知识整合】1.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法或.（2）等差数列的通项：或.（3）等差数列的前和：，.（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且.2.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列.（3）当时,则有，特别地，当时，则有.(4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. （5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；.（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.(7)“首正”的递减等差数列中，前项和

5、的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？3.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或.（2）等比数列的通项：或. （3）等比数列的前和：当时，；当时，.特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解.（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个.4.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.(2) 若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列.当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列.(3)若，则为递增数列；若, 则为递减

6、数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.(4) 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列. (5)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.5.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式.已知（即）求，用作差法：.已知求，用作商法：.若求用累加法：.已知求，用累乘法：.已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求.如(21)已知，求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解.6.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.（2）分组求

7、和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；，；（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.7.求角问题（1）内角和定理：三角形三角和为.任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.（2） 正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).正弦定理的变式：,；（3）余弦定理：，；（4）利用面积公式：，.8.求边问题（1）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（2）正弦定理的变式；（3）余弦定理:.变形式：；（4）利用面积公式：

8、;（5）射影定理：.9.求三角形的面积问题三角形的面积公式：（1）ahabhb（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）；（3）（其中为三角形内切圆半径）,； （4）.(与向量的数量积联系)10.求三角形的综合问题（1） 求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；.（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化,达到角的统一或边的统一.（3）在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC是正三角形的充分必要条件是A、B、C成等差数列且成等比数列.（4）锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方；钝角角三角形三内角一个为钝角一个角的余弦值为负值两锐角的和仍为锐角两个锐角对应的两边的平方和小于第三边的平方.（5）三角形内常见的不等关系;锐角中,;钝角中，设为钝角，则,.【应试技巧点拨】1.等差数列的判断与证明的方法(1)利用定义：或，其中为常数；(2)利用等差中项：；(3)利用通项公式：；(4)利用前项公式：.注意证明等差数列的方法必须用定义法或等差中项的方法去

9、证明；在选择题和填空题中，可根据题设条件恰当的选择任意一种方法.有时还可以利用“归纳-猜想-证明”的方法去打开解题思路.如果证明数列不是等差数列，可采用举反例的方法，如证明.2.等差数列前项和的最值问题对于等差数列前项和的最值问题，取决于首项和公差的正负即：，时，有最大值；，时，有最小值.常用下面两个方法去解决：(1)若已知，可用二次函数最值的求法（）；(2)若已知，则最值时的值（）可如下确定或.3. 如何判断和证明数列是等比数列判断和证明是等比数列常用以下几个方法：（1）利用定义： 或（为非零常数）；（2）利用等比中项：；（3）利用通项公式：（）；（4）利用求和公式：（，）.注意证明数列为等比数列只能用定义和等比中项去证明，但是在选择题或填空题中可以用任何一种方法.4.利用等比数列求和公式注意的问题在利用等比数列前n项和公式求和时，如果公比未知，且需要利用求和公式列方程时，一定要对公比分两种情况进行讨论. 5.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列

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