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新编【人教A版】高中数学选修1-1同步辅导与检测-第三章3.4生活中的优化问题举例

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常见问题

1、新编人教版精品教学资料第三章导数及其应用4 生活中的优化问题举例级基本巩固一、选择题把长为1 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一种正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是（)A. c2 B.4 m23 cm D2 cm2解析:设一种正三角形的边长为x c，则另一种正三角形的边长为（4x）cm，则这两个正三角形的面积之和为=x(4-x）=（x-2)42(c2)答案:D2某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品,成本增长100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)=-400x，0x30，则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是( )15 B.200 C250 D.300解析：由题意可得总利润P(x)+300x-2 000,0390，由(x)0,得x=300.当0x300时，()0;当3x390时,P()0，因此当0时,P(x)最大答案:3将分为两个非负数之和,使其立方和最小，则这两个数为( )A.2和6 B.4和4C.和5 D以上都不对解析：设一种数为,则另一种数为-x,其立方和y=x(x)3=3192+2x2且0x,412令y0,即4x-1

2、920,解得x=4当x4时,0；当4x8时,y0,因此当x4时，y获得极小值，也是最小值答案：B做一种容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时,它的高为(）A.6 m 8 C4 m D.2解析:设底面边长为x m,高为h m.则有x2h=25，因此h.所用材料的面积设为S m2,则有S4xh2xx2=x2.S=，令S0得x=8，因此h4（)答案：C5.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时,底面正三角形的边长为( )A C.D2解析：设底面正三角形的边长为x，侧棱长为,则Vx2sin 60l,因此l=,因此S表=xsin 603l=x2+.令S表=x=0,得x=,又当（0,)时，S表0,因此x=时，表面积最小.答案:C二、填空题6某商品每件的成本为30元,在某段时间内，若以每件x元发售,可卖出(200)件，当每件商品的定价为_元时,利润最大.解析:由题意知,利润S(x）=(x-0）(200x)=x223 0(20)，因此(x)=-220，令S(x)=0,解得x=115.当0x15时,S(x）0；当110)，因此y,令y=，解得=200(x=00舍去)，这时y80

3、.当x200时,y0;当x00时，y0.因此当x200时,y获得最小值，故其周长至少为8米.答案:80做一种无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27,且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析：设圆柱的底面半径R，母线长为L,则R2L=7，因此L=.要使用料最省,只需使圆柱表面积最小.表=+2LR2+,令S表2-=0，得R=3，即当=3时,表最小答案:3三、解答题9某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为，y(单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形,规定框架围成的总面积为8 m2，问x,y分别为多少(精确到.01)时用料至少？解：依题意，有y+=，因此y=-(0x4）,于是框架用料长度为l2x2y2x+l.令l=0，即+-,解得18-4,x=8(舍去)当0x84时，l0；当4x4时,0,因此，当x=84时,l获得最小值此时，-42.343，y.828.即当x约为2.3，y约为828时，用料最省.10.既有一批货品由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地到B地之间的航行距离约为50海里，每小时的运送成本由燃料费和其他费用构成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方

4、成正比(比例系数为0.6),其他费用为每小时960元.()把全程运送成本y(元）表达为速度（海里/时)的函数;(2)为了使全程运送成本最小,轮船应以多大速度航行？解：(1)依题意得y(960+0.6x2)=30x，且由题意知函数的定义域为(0,35,即y+300(0x35).（2)由(1)得y-+300，令y，解得x40或x-0(舍去)由于函数的定义域为(0,35,因此函数在定义域内没有极值点.又当0x35时,y0，因此函数y30在(0,35上单调递减,故当x=35时，函数+30x获得最小值.故为了使全程运送成本最小,轮船应以5海里时的速度航行B级能力提高1.某公司的赚钱y(元)和时间(天)的函数关系是=f(x），且f（100)-,这个数据阐明在第100天时( )公司已经亏损B.公司的赚钱在增长C.公司的赚钱在逐渐减少D.公司有时赚钱有时亏损解析：由于f(10)=-1，因此函数图象在=1处的切线的斜率为负值,阐明公司的赚钱在逐渐减少答案:2某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货品的运费2(万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，y和2分别为2万元和万元，那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站_千米处.解析：依题意可设每月土地占用费1=,每月库存货品的运费y22,其中x是仓库到车站的距离，k1，2是比例系数.于是由2=,得120；由8=k，得=.因此，两项费用之和为y=+(x)，y=-+，令y=0，得x或x=-(舍去）当0x5时,y0;当x5时,y因此，当x5时，y获得极小值,也是最小值故当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.答案:53.某公司生产某种产品的固定成本为20 0元，每生产吨该产品需增长投入10元，已知总收益满足函数R（x)=其中x是该产品的月产量(单位：吨).(1)将利润表达为月产量的函数f（）；(2)当月产量为什么值时,该公司所获利润最大？最大利润为多少元?解:（1)f()=（)当0400时,f()=x+00,当0x，f(x)是增函数;当x300时,()40时，f（x)=60 000-100x，易知f(x)是减函数,因此（x） 010040020025 00,综上，当x=00时，f（x)有最大值2500.即当月产量为30吨时，利润最大,最大利润为25 000元.

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