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抛物线的光学性质—— 课本阅读与思考带给我们的收获论文

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1、抛物线的光学性质课本阅读与思考带给我们的收获在人教A版选修1-1的第二章圆锥曲线的章末有一节阅读与思考，介绍了圆锥曲线的光学性质与实际应用，这给我们解决圆锥曲线的问题提供了一些新的思路.本文就抛物线的光学性质做了些尝试与探究，并用其结果来解决高考题，在此与大家一起分享.1、预备知识1.1、抛物线轨迹问题已知A(-a,O),B(a,O)(aO)为两个定点，过A作直线/垂直于X轴，在/上任取一点M,过M作/的垂线，若MB的垂直平分线交/于P,求P的轨迹.解：由条件可知P至心与到B点的距离相等，根据抛物线的定义得P点的轨迹为抛物线，其方程为y2=4ax(a0).1.2、在1.1的前提下，为抛物线的切线证明:(1)、当点M与点A重合时，显然成m.y立,I、设M(-a,t),其中BO,则=-2a,且MB的中点坐标为(0,-2/、-,.OBX故/方程为y=。2.联立方程组y=2a一2得tx2-2a+4=0,判别式。，所以为抛物线的切缘1.3、抛物线的光学性质与证明抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物线的反射，反射光线必经过焦点证明：如右图所示，光线PM平行于X轴照射到抛物线

2、上，过M作M1.垂直于准线，由1.2可知，垂直平分MiF,过M作MN垂直于所以MNMF,有故可得PMNP1,NMFMFMI根据抛物线定义,M所以有PMIF,故有PMNMF,即入射角等于反射角，得证N2、抛物线的切线性质2.1、过抛物线准线上一点作抛物线的两条切线，则两切点与焦点在同一直线上证明：如图，已知点P是抛物线C:y22px准他上一点,过P作抛物线的两条切线PA、PB,切点为A、B,过A、B作准线的垂线，垂足An，为Bx另由抛物线定义得AbAA,所以有PAFP4,故得PAA PFA 90,由抛物线的光学性质有PAAPAF,同理可得PBBPFB90,所以有A、F、B三点共线.2.2、过抛物线准线上一点作抛物线的两条切线，则两切线互相垂直，且该点与切点连线垂直于两切点所在直线证明：如图，已知点P是抛物线y2Ipx准线上一点,C:过P作抛物线的两条切PA.PB,切点为A、B,线由2.1证明过程可得PFAPFB900,所以有PFA8,由PAFPAA,APFAPA,同理可得BPFB尸8,所以乙APB=9Oo,即PAPB.3、光学性质的应用例1、（2005江西理科22改编）如图，设抛物线C：y2X的焦点为F,动点P在直线Xy20上，过P作抛物线的两条切线PA、PB,切点为A、B,证明：PFAPFB证明、（1）、当在准线上时，由2.1、2.2可得八、F、B三点共线，且AFPBFP90;（2）、当不在准线上时，假设在准线上方，过A、B作准线的垂线，垂足Ai、，由抛物线的光学性质有PAAPAF,为R.I另由抛物线定义得ARAA,所以有PAFPAA,故得PAAPFA，同理可得PBBPFB,连接PA、I易得A1.PB,所以有PABPBA,因而PAAP8B,即PFAPFB同理当在准线下方时依然成立.参考文献1数学选修1T.人民教育出版社，20072钟芳、吴首飞，抛物线定义的引入-基于抛物线光学性质的探讨.中学数学教学参考J,2019(03)51-523张润泽，关于抛物线光学性质的探索.福建中学数学J.2003(07)19-20

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