概率论讲义(茆诗松)

1、第二章随机变量及其分布教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。教学时数：20学时教学过程：随机变量及其分布例(1)掷一颗骰子，出现的点数X:1、2、6;(2)n个产品中的不合格品个数Y:0、1、2、n;(3)某商场一天内来的顾客数Z：0、1、2、；(4)某种型号电视机的寿命T：0,)。2.1.1随机变量的概念定义2.1.1定义在样本空间上的实值函数称为随机变量，常用大写X、Y、Z等表示；随机变量的取值用小写字母x、y、z等表示。注意：(1)随机变量X()是样本点的函数，其定义域为，

2、其值域为R(,)，若X表示掷一颗骰子出现的点数，则X1.5是不可能事件；(2)若X为随机变量，则Xk、aXb、均为随机事件，即：aXb:aX()b；(3) 注意以下一些表达式：XkXkXkaXbXbXaXbXb(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量。两类随机变量：若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个，则称X为离散随机变量；若随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b),则称X为连续随机变量，其中a可以是，b可以是。前例2.1.1中的X、Y、Z为离散随机变量；而T为连续随机变量。2.1.2随机变量的分布函数定义2.1.2设X是一个随机变量，对任意实数x,称F(x)p(Xx)为随机变量X的分布函数，且称X服从F(x)，记为XF(x),有时也可用Fx(x)表明是X的分布函数。定理2.1.1任一个分布函数F(x)都有如下三条基本性质：(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(,)上的单调非减函数，即对任意的x1x2，有F(x1)F(x2)；(2) 有界性：x，有0F(x)1，且F()limF(x)0F()limF(x)1x(3) 右连续性：F(x)是x的右连续函数，即对任意的x0，有

3、limF(x)F(x0)xx0即：F(x00)F(x0)。注：(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件；(2)有了分布函数的定义，可以计算：p(aXb)F(b)F(a)p(Xa)F(a)F(a0)p(Xb)1F(b0)等。2.1.3离散随机变量的概率分布列定义2.1.3设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是“、x2、力、，则称X取xi的概率Pi p(Xi) p(X Xi)(i 1,2,L n,L )为X的概率分布列或简称为分布列，记为Xpi分布列也可用下列形式表示:XX1X2XnPp(x1)P(X2)P(Xn)分布列的基本性质：(1)非负性：P(x)0(i1,2,L)正则性：p(Xi)1。i1注：(1)上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件;(2)离散随机变量的分布函数为：F(x)p(x)。XiX求离散随机变量的分布列应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值；(2)计算每个取值点的概率。对离散随机变量的分布函数应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的；(3)其间断点即为X的可能取值点；(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值

4、。例2.1.2已知X的分布列如下：X012p111362求X的分布函数解：F(x)1312例2.1.3已知X的分布函数如下，求X的分布列F(x)0.40.8解：X的分布列如下:X012p2.1.4连续随机变量的概率密度函数因为连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b),所以对连续随机变量X,有p(Xc)0,从而无法仿离散随机变量用p(Xc)来描述连续随机变量X的分布；定义2.1.4设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在实数轴上的一个非负可积函数p(x),使得对任意实数x,有xF(x)p(t)dt则称X为连续随机变量，称p(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数。密度函数的基本性质：(1)非负性：p(x)0;(2)正则性：p(x)dx1o注：(1)上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件；b(2) p(aXb)p(x)dx;a(3) 5(刈是(，)上的连续函数；(4) p(Xx)F(x)F(x0)0;(5) p(aXb)p(aXb)p(aXb)p(aXb)F(b)F(a);(6)当F(x)在x点可导时，p(x)F(x),当F(x)在x点不可导时，p(x)0离散随机变量

5、与连续随机变量对比:离散随机变量连续随机变量分布列：pip(Xxi)(唯)密度函数：Xp(x)(不唯一)F(x)p(xi)xixxF(x)P(t)dtF(a)F(a0)且p(aXb)F(b)F(a)点点计较p(Xa)0例 2.1.4 设* p(x)ke3x0求(1)常数 k; (2) F(x)F(x)为阶梯函数,即：F(a)F(a0)F(x)为连续函数,即：F(a)F(a0)解：(1)k3;1e3xF(x)0例 2.1.5 设 X p(x)x其它01 ,求 F(x)2 x解：F(x)22x1212例2.1.6设X与Y同分布,X的密度为3 2 x p(x) 800x2其它已知事件A Xa和 B Ya独立,且p(AU B)34,求常数a解：因为 p(A) p(B),A、B独立,p(AUB)p(A)p(B)p(AB)2p(A)p(A)2-31再由p(AUB)一解得：p(A)一42由此得0a23因此一p(A)p(Xa)-x2dx12a88从中解得a34随机变量的数学期望数学期望的概念例2.2.1(分赌本问题)若甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元，无平局，谁先赢3局，则获全部赌注，当甲赢2局、乙

6、赢1局时，中止了赌博，问如何分赌本赌本有两种分法：(1)按已赌局数分：则甲分总赌本的2、乙分总赌本的1;33(2)按已赌局数和再赌下去的“期望”分：设再赌下去，则再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。于是，甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布列为：X0100p143413甲的“期望”所得是：01100375o44这就是数学期望的由来，又称期望或均值，数学期望是一种加权平均。 2.2.2 学期望的定义定义设离散随机变量X的分布列为P(Xx)P(K)(i1,2,Ln,L)若|x|p(Xi),则称E(X)Xip(x)为随机变量X的数学期望，简称期1 1i1望或均值。若级数|Xi|p(Xi)不收敛，则称X的数学期望不存在。i1定义设连续随机变量X的密度函数为p(x),若|x|p(x)dx,则称E(X)xp(x)dx为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。若级数|x|p(x)dx不收敛，则称X的数学期望不存在。例设随机变量X的分布列如下：X1012P求E(X)解：E(X)10.200.110.420.30.8。数学期望的性质定理设随机变量X的分布用分布列p(xj

7、或用密度函数p(x)表示，若X的某一函数g(X)的数学期望E(g(X)存在，则g(X)P(x。E(g(X)i1。g(x)p(x)dx例设随机变量X的概率分布为:X012111P244求E(X22)2212121解：E(X2)(02)(12)(22)244361310444数学期望的性质：(1)若c是常数，则E(c)c;对任意的常数a,有E(aX)aE(X);对任意的两个函数g(x)、g2(x),有E(g1(X)g2(X)E(g1(X)E(g2(X).2x0x1例设Xp(x)2x0二1,求下列X的函数的数学期望0其它22X1;(2)(X2)1解：(1)E(2X1)-;3211E(X2)-o6随机变量的方差与标准差数学期望只能反映平均值即X取值的中心，有很大的局限性，在一些情况下，仅知道平均值是不够的,还要讨论随机变量与其平均值的偏离程度，用什么量去表示随机变量X与其数学期望的偏离程度呢显然，可用随机变量|XE(X)|的平均值E(|XE(X)|)来表示X与E(X)的偏离程度，但为了数字上处理的方便，通常用E(XE(X)2来表示X与E(X)的偏离程度。方差与标准差的定义定义若随机变量X2的数

8、学期望E(X2)存在，则称偏差平方(XE(X)2的数学期望E(XE(X)2为随机变量X(或相应分布)的方差，记为(为E(X)2p(x)在离散场合Var(X)E(XE(X)2i1(xE(X)2p(x)dx在连续场合称方差的正平方根War(X)为X(或相应分布)的标准差，记为(X)或xo注意：(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度。方差越大，则随机变量的取值越分散。(2)标准差的量纲与随机变量的量纲相同。方差的性质性质Var(X)E(X2)(E(X)2。性质若c为常数，则Var(c)0。性质若a、b为常数，则Var(aXb)a2Var(X)。x例设 X p(x) 2 x 00x11x2,求E(X)和Var(X)其它A1c2解：E(X)xp(x)dxoxdxx(2x)dx1x3|0(x21x3)|21;33oo1o2oE(X2)x2p(x)dxox3dx1x2(2x)dx2271Var(X)E(X)(E(X)-1-066随机变量的标准化:设Var(X)0,令XE(X),Var(X)则有E(Y)0、Var(Y)1,称Y为X的标准化切比雪夫不等式定理(切比雪夫不等式)设随机变量X数数学期望和方差都存在，则对任意的常数0,有p(|XE(X)|)Var!或p(|XE(X)|)1Varo定理若随机变量X的方差存在，则Var(X)0的充要条件是X几乎处处为某个常数，即P(Xa)1常用离散分布二项分布定义如果随机变量X的分布列为_kknkP(Xk)CnP(1p)(k0,1，,n)则称这个分布为二项分布，记为Xb(n,p)。当n1时，称b(1,p)为二点分布或01分布例设Xb(2,p)、Yb(4,p),已知p(X1)8,

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