二进制数及其他

1、进制数及其他0题记在学习计算机基础或者是数字电子技术、微机原理、单片机、C语言等课程的时候，都会讲到一个概念：二进制数。就 是这个二进制数难倒了很多的英雄汉，上面罗列的这些课程我都教过，这些课程有一个共同的知识点就是二进制数，十 进制数，十六进制数，还有八进制数以及他们的相互转换，而对于电子类专业的一门比较重要的课程一一单片机，更是 要用到二进制数和十六进制数。故而每次我讲课时都会尽量详细的给学生讲解这些内容。今天上午刚刚结束了两个班的 第一堂课，又勾起了我的回忆，让我有一种把这部分知识点写下来的冲动，给那些刚刚开始学习数字电子技术、单片机、 C语言的学生们。以上是为这篇文章的来历。随着电的使用，电器应用越来越广泛，人们对于电器的要求也越来越高，要求功能强大，还要智能化，使用简单化，这些要求让数字电子技术应用范围越来越广泛，原先很多采用模拟电路的地方都被数字电路取代了， 特别是对于信号处理方面，随着计算机科学与技术突飞猛进地发展，用数字电路进行信号处理的优势也更加突出。信号 处理的一般方法都是先将模拟信号按比例转换成数字信号，然后送到数字电路进行处理，最后再将处理结果根据需要转 换为相

2、应的模拟信号输出。从一般的模拟信号到数字信号，要经过采样、量化、编码，最终一个连续的模拟信号波形就 变成了一串离散的、只有高低电平之分“0 1 0 1.”变化的数字信号。自然界来的，或者通过传感器转化的主要是模拟信 号，那么为什么要多此一举把它们变为数字信号呢？原因有以下几点：一、模拟信号有无穷多种可能的波形，同一个波形稍微变化就成了另一种波形，而数字信号只有两种波形（高电平 和低电平），这就为信号的接收与处理提供了方便。即，数字信号易于传输，抗干扰能力强。二、模拟信号由于它的多变性极容易受到干扰，其中包括来自信道的和电子器件的干扰，模拟器件难以保证高的精 度（如放大器有饱和失真、截止失真、交越失真，集成电路难免有零点漂移）。而数字电路中有限的波形种类保证了它 具有极强的抗干扰性，受扰动的波形只要不超过一定门限总能够通过一些整形电路（如斯密特门）恢复出来，从而保证了极高的准确性和可信性，而且基于门电路、集成芯片所组成的数字电路也简单可*、 维护调度方便，很适合于信息的处理。特别是计算机科学技术发展后，很多模拟电路无法实现的功能都可以在采用数字 电路来实现。而电子计算机的出现，让数字电子

3、技术有了更广阔的发展空间，也让我们的生活更加的丰富。手机带给我们联络的方便， 电脑带给我们工作和娱乐以及学习的便利，天上的飞机，路上的汽车，让我们出行更加方便，家中的空调冰箱洗衣机微 波炉等让我们生活更加舒适。在手机、电脑、飞机、汽车以及家电中都有一块或者多块的微处理器在工作，而这些微处 理器就是由数字电路构成的。20和1的舞蹈2.1二进制数的来历电，发明出来是为人类服务的，那么电路同样的是为人们服务的，也就是说我们需要在电路中能够帮助我们做平时生活 中的事情，这些事情应该是我们不用电也可以来做的。举个例子，譬如我们生活中的数，我们采用的是十进制数，今年 是2010年，就是指从耶稣诞生之年到现在有2010年了，班上有45个人，买了一条裤子花费368元等等，那么在这 些数字的背后隐藏着什么呢？我们都知道1+1=2，但是陈景润花费了很大的功夫才证明，这说明即使我们看起来很平常 的的事情也隐藏着一些我们不知道的因素，在这里我们不是来讨论1+1 = 2的，因为我们不是顶极的数学家，但关于十 进制数，我们可以讨论一下一些普通人都有能力理解的东西。2010，45, 368这些数字给我们提供了 2个

4、信息，数码和 数位，2010由三个数码0，1，2构成，45由两个数码4, 5构成，368由三个数码3, 6, 8构成，而且这些数码的位置不一样，那么他们所 代表的大小不一样的，如图1：图1十进制数的数位、基数和权图中10就是基数，而103、102、101、100也就是1000，100，10，1就是权。所谓的权，就是在这个数中占的数值大 小。也就是说2010中的“2代表了 2个“千”，45中的”4代表了 4个“十”，而368中的”8“代表了 8个“一”，而且同 一个数码放在不同的位置上就代表了不同数值，如555中，三个5的权分别100，10，1，那么第一个5代表的数值就是5X100，第二个5代表的数值是5X10，的三个5代表的数值是5X 1。采用这种方法，我们就可以用有限的数码来表示无限的数据了。总结一下，十进制采用了 0，1，2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9共10个数码，基数是10，进行运算的时候，我们采用逢十 进一。这是我们现实生活中需要用到的十进制的一些情况，那么我们在数字电路中必然也要采用这种计数方法，电路中传输的 就是电压和电流，我们要用10种不同的状态来表示这10

5、个数码有点困难。我们举例来说吧，譬如有一个电压，05V，那么我们就可以这样来表示09这10个数码，如表1。表1电压和数码之间的对应关系电压十进制数码电压十进制数码0V02.5V50.5V13V61V23.5V71.5V34V82V44.5V9接下来就是要制造一个能够精确的实现0V, 0.5V, IV, 1.5V4.5V等各种电平的基本电路，但这一件是非常困难的事情。两个相邻的电平只有0.5V，电路受到干扰，电平偏移0.5V，那么就变成另外一个数据了，而要保 证电平完全没有漂移是不可能的，所以，十进制数在电路中很难直接实现了。即使勉强实现了，数据传输的时候又遇到 了更大的数据准确性的问题，因为电平经过导线传输的时候会变化，相邻的两个电平很容易混淆。这种十进制数在数字 电路中是没法直接实现，更别说是在微处理器这种高频电路中实现了。这样必然要另外想办法了。而戈特弗里德威廉凡莱 布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz， 1646年7月1日1716年11月14日）在18世纪初提出的二进制帮助人们解决了问题，虽然莱布尼茨受中国的易经八 卦启发而发明的二进制数最初不是用来

6、设计电路的，因为那个时候人们才开始研究电的现象，电灯，电池等都还没有出 现。但20世纪初人们制造出二极管、三极管、集成电路等的时候，却把二进制拿来用于电路的设计。二进制数因为只 有两个数0和1，状态也只有两种，在电路中实现起来就方便的多了，只要一个高电平和低电平就可以，甚至说有电流 和无电流、有电荷和无电荷都可以表示，这样的话电路的实现非常简单，而且这种电路也不容易受到干扰，抗干扰性好 的多。还是以上面05V的一个电平来说明，看图2。图2 0和1的电平实现从图2中可以看到，我们可以认为01V都是低电平，2.4V5V都是高电平，若假设低电平代表0,高电平代表1, 那么我们就实现了二进制数了，这个电路简单，而且易与实现，电平允许有一定的漂移，提高了抗干扰能力，数据传输 可*性高的多。所以数字电路中采用了二进制数。假若以高电平代表1，低电平代表0，则称为正逻辑系统，反之，以高电平代表0，低电平代表1，则称为负逻辑系统，一般来说，我们采用正逻辑系统。2.2二进制数与十进制数接下来我们就研究一下二进制数，注意了，下面我们纯粹的研究二进制数，跟二进制的数字电路实现没有任何的关系了。借助于十进制数的

7、思路，我们的二进制数有两个数码：0和1，基数是2,进行运算的时候是逢二进一。举例来说明， 比如二进制数10110 （注意，读这个数据的时候只需要把每一位数据读出来就可以了，千万不要采用十进制数的读法。即这个数读作：一零零，而不是一万零一百一十，若按照十进制数的读法，会让别人笑话的。切记切记）。对于这个数，我们知道它的每一位都有权，而且权是2的幕，即10110 =成24 0X23 1X22 1X21 0X20若我们把这些数字相加计算出数值来，就会发现它是一个十进制数22，这样我们就 把一个二进制数转换为十进制数了。我们接下来就讲二进制数和十进制数的相互转换问题。随便拿出一本教材来，关于二进制数和十进制数的相互转换，都讲了一个方法：二进制数转换为十进制数采用加权法， 就是上面说的例子。而十进制数转换为二进制数则分为整数部分和小数部分分别转换，整数部分用除2取余法，小数部 分采用乘2取整法，然后要列竖式来求解。一般来说，我们在进行应用的时候，譬如数字电路，单片机中使用的数字都 是整数，而且只需要我们快速的计算出这个数据即可，若按照除2取余法来求解，则太费时间，这里我讲一种方法，命名为“842

8、1法，可以快速的求解255以内的数据（超过255的数据建议大家用计算器来求解，手算或者心算就太费劲了。）。这个方法就是利用权，一个4位的二进制数，它的每一位的权恰好是8421，如图3。128 64 32 16 8 42 1图3二进制数每一位的权接下来我们就以一个具体的例子来说明这种方法的使用。先看二进制数转换为十进制数的例子，就是上面说的10110吧， 把它的每一位的权都标出来，如图4。16 8 4 2 110 110图4二进制数转换为十进制数的例子我们只要把数值是1的位的权加起来就可以得到对应的十进制数，即16+4+2=22，完全一样。但是比列式子快速的多了，如果熟悉了每一位的权之后我们都可以心算，快速的算出结果为22。接下来讲十进制数转换为二进制数的例子，把十进制数55转换为二进制数。开始运算之前先把图3画在草稿纸上，然后开始填1，首先，55在64和32之间，所以64处不能是1，我们在32处写1，这个1的权是32，那么我们还剩下55-32=23，比16大，我们在16的位置上写1，这时候我们还剩下23-16 = 7，接着我们就可以在4、2和1的位置上分别写一个1，32+16+4+2+

9、1恰好等于55,所以我们在其他的位置上写 0，把这个数写出来110111，就得到了转换后的二进制数了。整个过程如图5所示。图5十进制数转换为二进制数采用这种方法可以快速的实现二进制数和十进制数的相互转换，这里要提醒大家一点了，我们只需要练习十进制数255以内的数据和二进制数之间的相互转换就可以了，太大的数据交给计算器来运算就好了，千万 不要为难自己， 非要去计算52369的二进制数，那将让你失去许多乐趣的。相对于二进制数来说，我们只要能计算8位以内的二进制 数转换为十进制数就可，超过8位的还是交给计算器吧。当然了，每个人都有自己的自由，如果某人要手工计算32位 二进制数转换为十进制数或者把一个上亿的十进制数转换为二进制数，我也没有办法。在现实生活中，对于十进制数，我们自动的根据数据的大小调整数位，15有两位有效数字，那么我们写15就好，那么没有人会写成00015的，同样的369有三位有效数字，也没人会写成00369，因为在数字的前面 加0不改变大小，所以我们通常是省略前面的0。但在数字电路中有另外一种情况，譬如我们制造好了一个电路后，能 表示8位二进制数，那么就必须制造8个基本元件，每个基本元件存储一个二进制数，那么表示任何一个数，都是这 8个基本元件作为一个整体来表示的，这样就会遇到多余的0，如表示十进制数30，那么就是00011110，前面的0你 不能省略，因为你不能说最前面的3个元件不存储数据了，再者，电路造好之后你也不能随便的用刀砍掉一部分。所以， 在我们数字电路以及单片机课程中，一般遇到的二进制都是位数固定的，我们在写这些数据的时候一定不要省略前面的 0,那么这个固定的位数是多少呢？8的倍数，也就是说，一般来说都是8位数一组，或者是16位，32位，64位，128位等。针对单片机中二进制位数固定这一特点，这里有几个名词：位（bit），字节（Byte），字（W

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