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2021学年高中数学第一章坐标系1.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换学案苏教版选修4-4

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1、2016-2017学年高中数学第一章坐标系1.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换学案苏教版选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换1了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换2体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化基础初探1横坐标的伸缩变换一般地，由(k0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k1时，表示伸长；当0k1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍(这里(x，y)是变换前的点，(x，y)是变换后的点)2纵坐标的伸缩变换一般地，由(k0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换(当k1时，表示伸长；当0k1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍(这里(x，y)是变换前的点，(x，y)是变换后的点)3伸缩变换一般地，设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换思考探究1如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2y24的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形

2、的形状吗？那平移变换呢？【提示】x2y24的图形变为椭圆：y21.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状2如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化如在下列平面直角坐标系中，分别作出f(x，y)0的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的.第(1)种坐标系中的意思是x轴与y轴上的单位长度一样，f(x，y)0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f(x，y)0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，此时f(x，y)0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，此时f(x，y)0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑

3、：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_伸缩变换对下列曲线进行伸缩变换(k0，且k1)(1)ykxb；(2)(xa)2(yb)2r2.【自主解答】设P(x，y)是变换前的点，P(x，y)是变换后的点，由题意，得即(1)由yk(x)b，ykxkb，得直线ykxb经过伸缩变换后的方程为ykxkb，仍然是一条直线当b0时，该直线和原直线重合；当b0时，该直线和原直线平行(2)由(xa)2(yb)2r2，(xka)2(ykb)2(kr)2，得圆(xa)2(yb)2r2经过伸缩变换后的方程为(xka)2(ykb)2(kr)2，它是一个圆心为(ka，kb)，半径为|kr|的圆再练一题1在同一平面直角坐标系中，将直线x2y2变成直线2xy4，求满足图象变换的伸缩变换【解】设变换为，代入直线方程2xy4得：2xy4，即xy2，比较系数得：1，4，即直线x2y2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2xy4.伸缩变换的应用曲线y2sin 3x变换成曲线y3sin 2x，求它的一个伸缩变换【导学号：98990021】【思路探究】设代入y3sin 2x，所得式再与y2sin 3x比较即可

4、求、.【自主解答】将变换后的曲线y3sin 2x改成y3sin 2x.设伸缩变换代入y3sin 2x；得y3sin(2x)即ysin(2x)，与y2sin 3x比较系数，得即所以伸缩变换为确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可再练一题2(1)圆x2y2a2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为1(0ba)?(2)分析圆x2y2a2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系【解】(1)椭圆1可以化为x2a2，设即所以圆x2y2a2经过向着x轴方向上的伸缩变换，伸缩系数k，可以使方程变为1.(2)若圆x2y2a2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为ykxm，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为yx.由ykxm，得yxm.所以直线ykxm经过变换，方程可变为yxm.由yx，得yx，所以直线yx经过变换，方程可变为yx.此时，两条直线的斜率乘积是定值.若圆x2y2a2的弦所在直线的方程为xn，则经过其中点的直径所在直线的方程为y0，伸缩变换后其方程分别变为xn，y0.此时两直线依然垂直若圆

5、x2y2a2的弦所在直线的方程为yn，则经过其中点的直径所在直线的方程为x0，伸缩变换后其方程分别变为yn，x0.此时两直线依然垂直真题链接赏析(教材第41页习题4.3第8题)对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k2：(1)x24y216；(2)x2y24x2y10.求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2y21变成曲线1.【命题意图】本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换【解】设变换为代入方程1，得1.与x2y21比较，将其变形为x2y21，比较系数得3，2.即将圆x2y21上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆1.1直线x4y60按伸缩系数向着x轴的伸缩变换后，直线的方程是_【答案】x8y602直线2x3y0按伸缩系数3向着y轴的伸缩变换后，直线的方程是_【答案】2x9y03曲线x2y24按伸缩系数2向着y轴的伸缩变换后，曲线的方程是_【导学号：98990022】【答案】14ycos x经过伸缩变换后，曲线方程变为_【解析】由，得，代入ycos x，得ycos x，即y3cos x.【答案】y3cos 我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_6

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