直线平面简单几何体(B)(第9课)直线与平面垂直(二)

1、精品资源课题： 9 4 直线和平面垂直(二)教学目的：1 对直线与平面垂直的判定定理进一步加深理解，并应用此判定定理去处理有关垂直的问题；2 掌握直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题；能解决“当 a 时，直线 a 与平面 的距离问题”教学重点： 直线与平面垂直的性质定理教学难点： 判定定理和性质定理的运用授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1 直线和平面的位置关系观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（ 1）直线在平面内（无数个公共点） ；（ 2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（ 3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA ， a /aaaA2 线面平行的判定定理： 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式： l, m,l / ml /3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式： l /,l,ml / mlm

2、4线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直 其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面 交点叫做 垂足欢下载精品资源直线与平面垂直简称线面垂直 ，记作： a 5 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面讲解新课：1直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面, 那麽这两条直线平行已知：如图， a, b求证： a / b证明：（反证法）假定b 不平行于 a ，则 b 与 a 相交或异面；（ 1）若 a 与 b 相交，设 a bA ， a,b过点 A 有两条直线与平面垂直，此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾， a 与 b 不相交；（ 2）若 a 与 b 异面，设 bO ，过 O 作 b / a ， a b又 b且 bbO ，过点 O 有直线 b 和 b 垂直于 与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， b 与 a 不异面，综上假设不成立， a / b 2点到平面的距离的定义： 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这

3、个点到这个平面的距离3直线和平面的距离的定义： 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离二、讲解范例：例 1已知直线 l平面，垂足为A ，直线 APl ，求证： AP 在平面内证明：设 AP 与 l 确定的平面为，如果 AP 不在内，则可设AM ，l l， lAM ，又 APl ，P于是在平面内过点 A 有两条直线垂直于 l ，AM这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，所以 AP 一定在平面内例 2已知一条直线 l 和一个平面平行，求证直线 l 上各点到平面的距离相等欢下载精品资源证明：过直线l 上任意两点A、B 分别引平面的垂线AA , BB , 垂足分别为A , B AA, BB AA / BB设经过直线AA , BB 的平面为，A B l /l / A B四边形 AA B B 为平行四边形 AABB由 A、 B 是直线 l 上任意的两点，可知直线l 上各点到这个平面距离相等例 3已知： a， b 是两条异面直线，a， b， =l ， AB是 a， b 公垂线，交 a 于 A，交 b 于 B求证： AB l证明方法一： （利用线面垂直

4、的性质定理）过 A 作 b b，则 a， b 可确定一平面 AB 是异面垂线的公垂线，即 AB a， AB b AB b AB a ， b ， = l la， lb lb l AB l证明方法二： （利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行） AB 是异面直线 a，b 的公垂线，过 AB与 a 作平面 ， =m a a m又 a AB， AB m AB又过 AB作平面 g， g =n同理： nAB m n，于是有m 又=l m l AB l三、课堂练习：1选择题（ 1）直线 l 与平面 内的两条直线都垂直，则直线（ A）平行（ B）垂直 （ C）在平面 内lb gBmnaAl 与平面的位置关系是（D ）无法确定（ 2）对于已知直线a，如果直线b 同时满足下列三个条件：欢下载精品资源与 a 是异面直线；与 a 所成的角为定值 ；与 a 距离为定值 d 那么这样的直线 b 有（ ）（ A） 1 条（ B）2 条（C） 3 条（D ）无数条答案：（ 1）D ；（ 2） D2求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直分析： 用反证法，假设这两条异面直线同时和一个平面垂直，由直线和平面垂直的

5、性质定理 , 那麽这两条直线平行，此与条件矛盾 因此两条异面直线不能同时和一个平面垂直3地面上有两根相距c 米的直立旗杆，它们的长分别是a 米， b 米（ ba），求它们上端间的距离分析： 如图所示， ABC 为直角三角形| AB |(ba) 2c 24平行四边形 ABCD 所在平面 外有一点 P，且 PA=PB=PC=PD ，求证：点 P与平行四边形对角线交点O 的连线 PO 垂直于 AB、ADP分析： 由条件知， PO 分别为等腰三角形 PAC、 PBD 底边上的高，所以 PO 与 AC 、BD 都垂直，从而 PO 与平面垂直 由于 AB、 AD 都在内，所以 PO 垂直于 AB、ADDCOAB5如图， 已知 E，F 分别是正方形 ABCD边 AD，AB 的中点， EF 交 AC于 M， GC垂直于 ABCD所在平面（ 1）求证： EF平面 GMC（ 2）若 AB 4， GC 2，求点 B 到平面 EFG的距离分析： 第 1 小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第 2 小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直

6、线到平面的距离问题解：（ 1）连结 BD交 AC于 O， E， F 是正方形ABCD边 AD， AB 的中点， ACBD，G EF ACDCE M AC GCC，AFB EF平面 GMC（ 2）可证 BD平面 EFG，由例题2，正方形中心O到平面 EFG欢下载精品资源6求证：空间四边形的四个内角不可能全是直角证明：（用反证法）假设空间四边形ABCD 的四个内角都是直角A过 D 作 DE / AB ，则 ADDE , ADDC , BCDC , BCDE设 DE,DC 确定的平面为，则 AD, BC,DC AD / BC ， AD,BC 共面，此与ABCD 是空间四边形B矛盾 E 空间四边形的四个内角不可能全是直角四、小结：我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义定理的证明用到反证法， 证明几何问题常规的方法有两种： 直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法直线与平面垂直的性质定理，应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题五、课后作业 ：1已知矩形 ABCD的边长 AB 6cm， BC4cm，在 CD上截取 CE 4cm，以 BE为棱将矩形折起，使BC E 的高 C F平面 ABED，求：C（ 1）点 C到平面ABED的距离；D（ 2） C到边 AB 的距离；CE（ 3） C到 AD的距离F参考答案：AB（ 1）作 FH AB于 H，作 FG AD于 G，则 C HAB， C GAD , 可算得 BE=42 cm， HB=2cm， C 到平面 ABED的距离为 C F2 2 cm C 到平面 AB的距离为 C 到平面 AD的距离为C H2 3 cmC G2 6 cm2如图，已知ABCD是矩形， SA平面 ABCD， E是 SC上一点求证： BE不可能垂直于平面SCD参考答案： 用到反证法，假设BE平面 SCD，欢下载精品资源 AB CD； ABBE AB SB，这与 Rt SAB中 SBA为锐角矛盾 BE 不可能垂直于平面 SCD六、板书设计（略）七、课后记：SEDCAB

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