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新编安徽省宿州市教研室高三数学总复习特色原创专题：立体几何含答案

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常见问题

1、立体几何考点梳理一、空间几何体（一）空间几何体的类型 1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体其中，这条直线称为旋转体的轴（二）空间几何体的表面积与体积1 空间几何体的表面积圆柱的表面积：圆锥的表面积：圆台的表面积：球的表面积：2 空间几何体的体积柱体的体积：锥体的体积：台体的体积：球体的体积：（三）空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图，侧视图，俯视图2 直观图：斜二测画法二、直线与平面的位置关系（一）线面平行1判定定理：2性质定理：（二）线面垂直 1 判定定理：2性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线即：（2）垂直于同一平面的两直线平行来源: 即：（三）面面平行1判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行2性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行（四）面面垂直 1判定定理：2性质定理：三、立体几何与空间向量（一）用

2、空间向量证明直线与平面、平面与平面平行与垂直设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为， (以下相同)1线面平行2线面垂直3面面平行4面面垂直（二）利用向量求线线角、线面角与二面角设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为， (以下相同)1线线夹角设直线的夹角为，则：2线面夹角设直线平面的夹角为，则：3面面夹角设平面组成的二面角为，则：热点探究立体几何是中学数学的重要内容，它在培养和考查学生的空间想象能力以及推理、论证能力等方面占有独特的地位从近几年的高考题来看，立体几何和空间向量至少一个小题一个大题，考查的重点和热点为：( 1)三视图的识别，三视图和直观图的联系与转化，求三视图对应直观图的表面积和体积；（2）位置关系的判断与推证；（3）空间角和距离等从命题形式上，遵循稳中有变，特别在动态变化、存在性问题、探索性问题以及其他知识交汇上不断创新，在求解方法上突出多角度、多方位思考，充分彰显出空间问题平面化、几何问题代数化和立体几何问题向量化的特色沙场点兵、实战演练1如图，在菱形中，三角形为等边三角形将它沿折成大小为的二面角，连接,(1) 证明：；(2) 当为何值时，二面角的平面角的

3、正切值为ACDOBE2（文科）如图,四面体中, 分别是的中点, , (1)求证:平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值；来源:(3)求点到平面的距离3（文科）如图,在直三棱柱中, 是的中点，(1) 求异面直线与所成角的大小；(2) 在上是否存在一点,使得平面? 若存在,求出的值；若不存在,请说明理由；(3) 求平面和平面所成角的的余弦值4在直平行六面体中,是菱形,来源:(1)求证:平面；(2)求证:平面平面；(3)（理科）求直线与平面所成角的正弦值5如图，一个等腰直角三角形的纸片中，90，4，是斜边上的高,沿把折成直二面角来源:（1）翻折后的长为多少时，二面角是直二面角？证明你的结论；（2）试在平面上确定一个，使与平面内任意一条直线都垂直，证明你的结论；（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值6如图，正方体，棱长为，、分别为、上的点，且（1）当为何值时，三棱锥的体积最大？（2）求三棱椎的体积最大时，二面角的正切值；（3）求异面直线与所成的角的取值范围7（20xx福建（文科）如图,在四棱锥中,(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图(要求标出尺寸,并画出

4、演算过程)；(2)若为的中点,求证:；(3)求三棱锥的体积8如图，平行四边形中，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为(1)当为何值时，三棱锥的体积最大?最大值为多少？(2)当时，求的大小9（20xx安徽（理科）如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，都与平面垂直，（1）求二面角的大小；（2）求四棱锥与四棱锥公共部分的体积10 （湖北（理科）如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,分别是,的中点(1)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明；(2)设(1)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:11 如图，在边长为4的菱形中，点分别在边上，点与点不重合，沿将翻折到的位置，使平面平面（1）求证：平面；（2）当取得最小值时，若点满足()，试探究：直线与平面所成的角是否一定大于？并说明理由12 如图，平面四边形的4个顶点都在球的表面上，为球的直径，为球面上一点，且平面，点为的中点 (1) 证明：平面平面；(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值13 如图，在中，点在上，交于，交于沿将

5、翻折成，使平面平面；沿将翻折成，使平面平面（1）求证：平面（2）设，当为何值时，二面角的大小为？答案：1（1）略（2）如右图，建立平面直角坐标系则,可得：2 (1)略 (2) (3) 3 （1）异面直线与所成的角为（2）=1(3) 4 (1) 略(2) 略(3) 5（1）AB4（2）取ABC的中心P（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有代入得，即半径最大的小球半径为6 （1），当时，三棱锥的体积最大（2）取EF中点O，由，所以就是二面角的平面角在Rt中（3）在AD上取点H使AHBFAE，则，所以（或补角）是异面直线与所成的角在Rt中，在Rt中，在RtHAE中，在中，因为，所以，7(1)略(2)略(3) 88 （1）45时，三棱锥COAD的体积最大，最大值为 (2) 609略10略11 （1）略（2）如图建立平面直角坐标系，设，可得当时，此时，设点的坐标为，由前知，则，所以，，设平面的法向量为，则，取，解得：，所以设直线与平面所成的角，又，因此直线与平面所成的角大于，即结论成立 12（1）略 (2) 以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴以方向为轴，建立如图所示坐标系则，由，可知来源:由，可知.则，因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为13（1）略（2）

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