数列通项公式的十种求法
17页1、数列通项公式的十种求法、公式法ai 2,求数列an的通项公式。例1已知数列an满足an12an32n,解:an12an32n两边除以2n1,得手以曳21为首项,以3为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,2122亘32n2,得亘2n故数列2是2n1(n1)|,2一31c所以数列an的通项公式为an(3n1)2n。评注:本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an2n转化为节an2n为是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出1)3 ,进而求出数列2an的通项公式。二、累加法例2已知数列an满足an1 an 2n 1, a11,求数列an的通项公式。解:由an1an2n1得an1an2n1则an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a12(n1)12(n2)1L(221)(211)12(n1)(n2)L21(n1)12(n1)12(n1)(n1)12n2所以数列an的通项公式为ann。评注:本题解题的关键是把递推关系式an1an2n1转化为an1an2n1,进而求出(anan1)(an1an2)L(a3a?)a1)a1,即得数列an的通项公式。已知数列an满足an1a
2、n23n1,ai3,求数列%的通项公式。an1anan1nan231an(an(2312(3n1an1)(an1n11)13n2(2L所以3n32n2)21);31)(n(a3(21)a2)32(a21)a1)(231a11)323(13n1)3n3nan3n(n1.1)3评注:本题解题的关键是把递推关系式anan1转化为nan1an231,进而求出an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1,即得数列an的通项公式。例4已知数列an满足an13an3n1,a13,求数列an的通项公式。解:ann3an231两边除以3n1an13n13nan23n3an3n令(32(n3an1)anJ1)(an1(3(3nan113n113nan2)驴)(313n1(an2(*1、an3)*)因此an3n2(n1)3n1)则an3n3n丁)1.L3n2n3(冬电)色323131)3323L3n评注:本题解题的关键是把递推关系式an 13an23n1转化为aOn-1333进而求出自费)(于On-4)3333an2(浮鼠)l仔学即得数列an3n的通项公式,最后再求数列%的通项公式。三、累
3、乘法例5已知数列an满足an 12(n1)5nan,a13,求数列an的通项公式。解:因为an12(n1)5nan,al3,所以an0,则-2(n1)5n,故anananan1a3a2-Laan1an2a2a12(n11)512(n21)52L2(21)522(11)5132n1n(n1)L325(n1)(n2)L213n(n1)32n15k可n(n1)所以数列an的通项公式为an32n15n!.评注:本题解题的关键是把递推关系an2( n 1)5n an转化为免 an2(n 1)5n,进而求,aaaa9出-上La1,即得数列an的通项公式。an1an2a2a1例6( 2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列 an满足a11,ana12a23a3L(n1)an1(n2),求an的通项公式。解:因为ana12a23a3L(n1)an1(n2)所以an1a12a23a3L(n1)an1nan用式一式得an1annan.(n1)an(n2)故电ann 1(n 2)所以an旦亘l曳a2n(n1)L43同n!a2.an1an2a22由ana12a23a3L(n1)an1(n2),取n2得
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