毕业论文-比较法在判别级数敛散性中的应用

1、分类号 O172.1 编 号 2011010619 毕业论文题 目 比较法在判别级数敛散性中的应用 学 院 数学与统计学院 姓 名 专业班级 11级数学与应用数学四班 学 号 研究类型 指导教师 提交日期 2015-05-14 原创性声明本人郑重声明:我所呈交的论文是在指导教师的指导下独立完成的成果。论文里面引用到他人已经发表的文献、数据、观点等都已经明确注明。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名: 年月日论文指导教师签名: 比较法在判别级数敛散性中的应用马建行(天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水741000)摘要 级数敛散性的判断有许多方法，其中比较判别法是重要方法之一.介绍了几种比较判别法，并通过实例说明其应用.关键词 级数；正项级数；收敛；发散；比较判别法Applications of comparative method in judging the series convergenceJian-hang Ma(School of Mathematics and Statistics, T

2、ianshui Normal University, Tianshui 741000,China)Abstract There are many approaches to judge the convergence of a series, the comparative method is one of the most important methods. In this paper, several kinds of comparative methods are introduced, and the corresponding examples are given.Keywords Series, positive series, convergence, divergence, comparison method 数学与统计学院2015届毕业论文目 录0引言11 预备知识12 各种比较判别法及应用2定理 2.1 Cauchy凝聚判别法2定理 2.2 Kummer判别法4定理 2.3 dAlembert 判别法5定理 2.4 Cauchy根式判别法8引理 2.1 dAlem

3、bert判别法与Cauchy根式判别法的关系9定理 2.5 Raabe判别法10定理 2.6 对数判别法12定理 2.7 Gauss判别法133 结束语15参考文献16 17 数学与统计学院2015届毕业论文比较法在判别级数敛散性中的应用0引言 我们知道解决正项级数敛散性的判别法有很多种，有比较判别法、高斯判别法、比值判别法、积分判别法等，对于级数敛散性的最常用的一般方法是，首先要判断级数是哪一种类型，在确定类型后按照该类型的计算方法一步一步计算，最后按照其判定定理判断敛散性. 所以，选择正确的正项级数敛散性的判别方法，是解决正项级数敛散性的关键，本文利用了比较判别法解决了正项级数敛散性的若干问题以及若干应用，突出了比较判别法在正项级数敛散性中的重要性.1 预备知识定义1.1 给出一个数列，对它的每一项依次用“+”号连接起来的表达式称为级数，其中为级数的通项.定义1.2 给出一个数列,如果的任何一项都大于0，那么就称为正项级数.定义1.3 如果正项级数的部分和数列，即称正项级数收敛，否则发散.引理1.1 (比较判别法）假设和是两个正项级数，如果存在常数，使得，则(1)如果级数收敛，那么

4、级数也收敛；(2)如果级数发散，那么级数也发散； 比较判别法的局限性就在于它只局限于判别比已知收敛级数收敛速度更快的级数或者比已知发散级数发散速度更快的级数，但是有时候用以比较的级数是不容易找到的，所以要找到合适的级数来作比较，比如对于级数，和，容易验证级数的部分和介于与的部分和之间，但是级数收敛，而级数发散，所以我们并不能确定级数的敛散性.那么如何找到更合适的级数来作比较呢？也就是找到一个收敛速度较慢的级数和一个收敛速度较快的级数，那对于任意给的级数我们最多比较两次，就能确定其敛散性了，但是，我们能找到这样的级数吗？即：怎样来区分级数收敛的“速度”？因此我们先假定收敛速度快慢的标准.设，均为正项级数，记，(1)若，均收敛，且，则称是比收敛较快的级数；(2)若，均发散，且，则称是比发散较快的级数. 2 各种比较判别法及应用定理 2.1 Cauchy凝聚判别法设为正项级数，且单调递减，则级数与级数同敛态. 证明 对正项级数任意加括号，其敛散性不改变，则(1)，由比较判别法知，若级数收敛，则级数收敛；若级数发散，则级数发散.(2) ，由比较判别法知，级数发散，则级数发散；级数收敛，则级数收

5、敛.由（1）（2）可知，级数与级数同敛态.例2.1 讨论下列级数的敛散性.(1) （2） 证明 (1)由于级数，当时，级数收敛，故由Cauchy凝聚判别法知，级数收敛；当时，级数发散，故由Cauchy凝聚判别法知，级数发散.(2)由于级数，而由（1）并结合Cauchy凝聚判别法知，当时，级数收敛.定理 2.2 Kummer判别法设和均为正项级数，则(1)若存在，使当充分大时,有，则级数收敛.(2)若级数发散，且，则级数发散.证明 (1)存在正整数，使得对一切有，即，于是，因此数列单调递减，而，由单调有界定理知，数列收敛，记，则级数的部分和，所以，从而级数收敛.由比较判别法知，级数收敛.(2)存在正整数，对一切有，则，因此数列单调递增.不妨设，则，而级数发散，由比较判别法可知，级数发散. Cauchy凝聚判别法和Kummer判别法都是选用收敛速度与给定级数收敛速度相当或较之更快的级数进行比较，但其实这两种判别法在很多情况下计算是很麻烦的，因此，我们可以探索与之相比更简形式的判别法.定理 2.3 dAlembert 判别法设是正项级数，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当

6、或时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散.证明 (1)时，存在正整数，对一切有 取 （），则，从而有， ，把这个不等式相乘，得 ， 而，等比级数收敛，由比较原则可知收敛.(2)时,，存在正整数，对一切，有 ，取，()，则有，于是有，因此级数发散.(3)对于级数和级数，但显然级数发散，级数收敛.例2.2 级数收敛吗？这里().解 易知 ， ，假设对一切有，则当时，由数学归纳法可知，对一切，有，由dAlembert判别法知，级数收敛.例2.3 分别判断级数和级数的敛散性.解 (1)令，则 ，由dAlembert判别法可知，级数收敛.(2)令，则，由dAlembert判别法可知，级数发散.例2.4 考虑级数，其中，,.这里用dAlembert判别法却是失效的.考虑到级数的部分和 ，,于是，因此是收敛的.定理 2.4 Cauchy根式判别法设是正项级数，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当或时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散.证明 (1)当时，对任给的，存在正整数，使得对一切的，都有 ，取，则，所以，由比较判别法可知，级数收敛.(2)当时，对任给的，存在正整数，使

7、得对一切的，都有，取，则，从而，因此不是无穷小量，故发散.(3)对于级数和级数，但显然级数发散，级数收敛.例2.5 讨论,时，正项级数的敛散性.解 由于 ，由Cauchy根式判别法知，级数收敛，发散.对于例5，时，由于，因此，用Cauchy根式判别法还不能确定级数的敛散性.对于例4，虽然由dAlembert判别法不能判断此级数敛散性，但由Cauchy根式判别法知，级数收敛.下面我们来探讨dAlembert判别法与Cauchy根式判别法的关系.引理 2.1 dAlembert判别法与Cauchy根式判别法的关系设是正项级数，则.证明 显然成立,只需证和.设，对任给的，存在正整数，使得对一切的，都有，即，将这个式子相乘，则，于是，因此，故.类似可证. 由引理可知，与dAlembert判别法相比，Cauchy根式判别法的确有更广的使用范围.dAlembert判别法和Cauchy根式判别法都是建立在正项级数比较判别法基础上的，并且所选用的比较级数均是收敛速度较快的等比级数.因此，这两种判别法只能用于判断那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于一类比等比级数收敛速度缓慢的级数，这两种判别法就无能

8、为力了.为了改进判别法，我们找到了一种形式简单，且收敛速度相对较慢的级数(级数)为比较级数，并由此导出较比dAlembert判别法和Cauchy根式判别法更为精细且形式简单的判别法.定理 2.5 Raabe判别法 设是正项级数，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散.证明 设，则，由且可知，存在，使得当时，有（*）(1)当时，取，满足，由与不等式（*）可知，存在正整数，使得对一切，有，于是，即，从而正项数列从某一项开始单调递减，因此必有上界，设，则.因为，所以收敛，由比较判别法可知级数收敛.(2)当时，存在正整数，使得对一切，有，于是，即，从而正项数列从某一项开始单调递增，因此存在正整数和实数，使得，则，而级数发散，由比较判别法知级数发散.例2.6 判断和级数的敛散性.解 由,.由Raabe判别法知，级数发散，级数收敛.定理 2.6 对数判别法设是正项级数，若存在，当充分大时，有(1)，则级数收敛；(2)，则级数发散. 证明 (1)由充分大时，知，存在正整数，使得对一切有，于是，即（），而级数（）收敛，由比较判别法知，级数收敛.(2)由充分大时，知，存在正整数，使得对一切，有，于是.而级数发散，由比较判别法知，级数发散.例2.7 判断级数的敛散性.解 由，这里.由对数判别法知，级数收敛.例2.8 讨论级数的敛散性.解 ，则当时，；当时，由对数判别

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