简易逻辑与抽屉原理

1、简易逻辑与抽屉原理 教学目标： 1. 让同学们学会简单的逻辑推理。 2. 学会使用抽屉原理解决实际问题。二. 重点、难点： 1. 应用逻辑规律推理。 2. 在抽屉原理的应用中如何制造抽屉。 教学内容：（一）简单逻辑： 通常把只涉及一些相互关联（或依存）条件或关系，极少给出（不直接赋与）数量关系与几何图形的一类非标准（常规）数学问题叫逻辑推理问题，处理这类问题，要从一些关联的条件出发，应用某些数学知识，甚至日常生活常识，依据一定的思维规律（机智灵活、准确敏捷的思考），通过分析、推理、排除不可能情况（剔除不合理成分），然后作出正确的判断。 主要依据的逻辑规律：（1）同一律：是指同一东西（对象）。它是什么就是什么，不能模棱两可，亦此亦彼； （2）矛盾律：是指互相对立（矛盾）的事不能都真，二者必有一假（即同一思想不能既真又假）； （3）排中律：是指两个不相容的判断不能都假，二者必有一真（即任何判断或同一思想不能既不真也不假）。 逻辑推理问题条件扑朔迷离，层次重叠纷纭，没有一定的定理可以依据，无现成公式可用，无模式可循，靠的是逻辑推理。可画框图、紧抓关系、细抠条件，寻找突破口，穷追到底，层层进逼

2、，以求找到答案。 例1. 有三个箱子分别涂以红、黄、蓝三种颜色，一个苹果放入其中之一，且（1）红箱子上写着：“苹果在这只箱子里”；（2）黄箱子上写着：“苹果不在这只箱子里”；（3）蓝箱子上写着：“苹果不在红箱子里”。已知（1）、（2）、（3）中只有一句真话，问苹果在哪个箱子里？ 解：因（1）和（3）是对立的，故二者不能全真，必有一假，又不能都假，必有一真，故而（1）和（3）正好一真一假，但不知哪个为真哪个为假。 由于已知真话就一句，这就推导出（2）必为假话。 （2）为假话，则苹果一定在黄箱子中。 例2. A、B、C、D四人对王先生的藏书数目作如下估计： A说：“王先生有五百本书。” B说：“王先生至少有一千本书。” C说：“王先生的书不到二千本。” D说：“王先生最少有一本书。” 这四个估计中只有一个是对的，问王先生究竟有多少本书？ 解：首先，A说得不对，否则C、D说的也就对了，这与已知“只有一句是对的”相矛盾。 同理，B说的也不对，否则D也说对了。 注意B、C的估计至少有一个是对的（因B、C估计的书数概括了所有非负整数），因而推出D说的不对，故C说的对。 再由已知，推出D说的不对。

3、从而知道：王先生一本书也没有。 例3. 四个孩子在操场玩球，忽然传来一阵打破玻璃的声音，老师急忙跑出去查看，发现一扇窗户给打破了。 老师问：“一定是你们中一个打破的，是谁？” 宝宝：“是可可打破的。” 可可：“不是我，是毛毛打破的。” 多多：“我没有打破窗户。” 毛毛：“可可在说谎。” 只有一个小孩讲了实话，他是谁，谁打破玻璃？ 解：把小孩的话改成“是某人”或“不是某人”，以便找突破口。 （1）打破玻璃者是可可。 （2）打破玻璃者不是可可，是毛毛。 （3）打破玻璃者不是毛毛。 （4）打破玻璃者不是多多。 显然，“是毛毛”与“不是毛毛”（互相对立）必有一句真话。 若是毛毛，则就不是多多，因而可可和多多说得都对（即（2）和（3）对），与所设不符，故可可说谎，毛毛说实话。 进而因毛毛讲实话，多多在说谎，可见打破玻璃者是多多。 也可这样理解： 记命题A打破玻璃者是可可； 记命题B打破玻璃者是毛毛，不是可可； 记命题C打破玻璃者不是多多； 由表可知：打碎窗者是多多，只有D（毛毛）讲实话。 例4. 某参观团根据下列约束条件从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： （1）若去A地，也必须去B地；

4、（2）D、E两地至少去一地； （3）B、C两地只去一地； （4）C、D两地都去或都不去； （5）若去E地，A、D两地也必须去。 问：参观团最多能去哪几个地方？ 解：统观约束条件，由（2）知：D、E两地为参观重点地方，应从这儿入手分析。 若去E地，则由（5）也必须去A和D地，但既去A地，由（1）也必须去B地；而去D地，由（4）也必去C地，这样得出去B、C二地，与（3）抵触，故不能去E地。 由（2），D、E两地至少去一地，E既不能去，故必定去D地，去了D地，由（4）可知就必须去C地，去了C地，由（3）就不能去B地，不去B地，由（1）也就不去A地。 故唯一选择是参观C、D二地。 例5. 一个袋中有10种型号的袜子（足够多只），为确保从中取出20双，至少应取几只？ 解：因为袜子有10个型号，取出10只保证不了成一双（同一型号），故先取出11只，就可确保得到一双型号相同的袜子。 配成一双后，再从袋中取2只，又可配成一双，将这种操作重复19次，必可配20双，故至少应取11+219=11+38=49只。 说明：这里用了极端性原理，从最不利因素出发分析。 一般，一个袋中有k种型号的袜子（足够多只），为

5、确保从中取出n双，至少应取出(k+1)+2(n-1)=2n+k-1只 例6. 学校进行了一次考试，考试的科目是语文、历史、数学、物理和英语，每科满分为5分，其余等级依次是4、3、2、1分。今已知按总分由多到少排列着五名学生，A、B、C、D、E满足下列条件： （1）在同一科目中以及在总分数中没有得同样分数的人； （2）A的总分是24分； （3）C有四门得了相同的分数； （4）E语文得3分，物理得5分； （5）D的历史得4分。 试求题目中未直接给出的各人其它各科的成绩？ 解：先从五人的总分入手，再扣掉A的得分，得出B、C、D、E四人的总分，再从得分最低的E出发进行推断，即可逐步得出结果。 （1）由已知可得5人的总分为5(1+2+3+4+5)=75分。 因A得24分，故B、C、D、E共得7524=51分 又E两科得8分，故E（还有三科）至少得11分 稍加验算可知：B、C、D、E的得分情况应该是15、13、12、11。 （2）E两科8分，总分11分，因而E的英语、历史、数学各得1分。 （3）A的总分是24分，故只有一科得4分，其它各科均是5分，因E的物理得4分，故语文、历史、数学、英语各五分。

6、 （4）C的总分为13分，且有四科得分相同，故得分情况只能是一科五分，四科各2分或一科1分，四科各3分。因5分为A、E所得，则C的四科各得3分，一科得1分，又因E语文得3分，故C语文得1分，其余各科得3分。 （5）D的总分是12分，历史得4分，余下8分，因全部5分为A、E所得，全部3分为C、E所得，四个1分为C、E所得，故除历史外，D的其它各科各得2分。 显然，B的语文、数学、英语皆得4分，历史2分，物理1分。（二）抽屉原则： 1. 什么是抽屉原则： 现实生活中会遇到这样的问题：买回3本书，全部放入2个抽屉中，如果规定每个抽屉至少有一本书，则肯定有一个抽屉放入2本书；四个苹果放入3个盘子中，则至少有一个盘子中至少放2个或更多苹果；一年有53个星期，班上有54个同学，则肯定至少有2个同学的生日在同一星期。 以上这些数学问题，并没有指明谁装多少，谁和谁同生日，但却可以肯定某种客观事实，解决上述这种客观存在性问题的数学方法，通常称之为抽屉原则。 抽屉原则：把n+1（n是自然数）个物体，按照任何方式放入n个抽屉中，那么至少有一个抽屉放入了两个或更多的物体。 例1. 任意给出3个自然数，证明其中

7、一定有两个数之和能被2整除。 证明：我们把“奇数”和“偶数”各看成一个抽屉，把3个自然数按奇、偶性分别放入各自的抽屉，由抽屉原则可知必有一个抽屉放入2个自然数，取这两个自然数，要么同是奇数，要么同是偶数，它们的和一定是偶数，故能被2整除。 例2. 班上有54位同学，证明至少有两位同学的生日是在同一个星期。 证明：一年有365天，划分为53个星期，把每个星期看成一个抽屉，共53个抽屉，54位同学的生日，对应放入各自所在的抽屉中，由抽屉原则，至少有一个抽屉有两个或更多同学的生日，也就是他们的生日在同一个星期。 2. 抽屉原则的解题思路： （1）认真领会题意，分析条件和要得到的结论，确定把什么条件看成是“抽屉”，把什么条件看成是“物体”。 （2）设计抽屉，设计好抽屉是解决这类数学问题的关键，抽屉的设计涉及很多数学知识，要抓住主要的基本关系进行分类，设计抽屉的性质和个数。 （3）应用抽屉原则得到必要的结论，再综合其它数学知识，解决具体问题。 例3. 任取11个自然数，那么，其中至少有2个数的差是10的倍数。 证明：我们按个位数是0、1、2、39设计10个抽屉。 把这11个自然数按个位数的数字对

8、应放入这10个抽屉中，由抽屉原则，至少有一个抽屉有两个或更多的数，那么这两个数字之差就是10的倍数。 本课小结： 1. 本课主要讲解了关于逻辑推理和抽屉原则的相关知识，这部分知识课本上没有，但希望同学们能熟悉。 2. 本课的主要目的是开拓同学们的视野，理解数学并非全是课本上那些类别的知识，从而提高数学学习的积极性。【模拟试题】 1. A、B、C三名勘探队员在野外作业取得一块矿样： A判断：这不是铁，也不是锰； B判断：这不是铁，而是锡； C判断：这不是锡，而是铁。 后经化验证明：一人判断全部正确，一人判断全部错误，另一人一对一错，问矿样是什么？ 2. 某学生在暑假观察了x天的天气情况，结果是： （1）共有7个上午是晴天； （2）共有5个下午是晴天； （3）共下了8次雨，在上午或下午； （4）下午下雨那天，上午是晴天。 则x等于多少天？ 3. 一个袋中放有100个小球，其中28个红球，20个绿球，12个黄球，20个蓝球，10个白球，10个黑球，问应从袋中摸出最少多少只小球，才能确保有15个同色的？ 4. 某次数学竞赛A、B、C、D、E五人得前五名，老师叫他们猜一下名次，结果： A说：“B第三，C第五”； B说：“D第二，E第四”； C说：“A第一，E第四”； D说：“C第一，B第二”； E说：“D第二，A第三”。 老师说每人猜对一半，那么这五人实际名次如何？ 5. 证明： （1）任取12个整数，证明一定有两数之差是11的倍数。 （2）任取3个自然数，证明一定有两个数之和是偶数。【试题答案】 1. 矿样是铁 2. x=10且求出全天晴是2天 3. 最少摸出(10+10+12)+43=75个球 4. B第二、A第三、E第四、C第五、D第一 5. （1）全体整数被11除，余数有0、1、2、310共11种，这12个数按各自的余数的大小，分别放入这12个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个数，这两个数的差能被11整除。 （2）三个数中至少有两个同为奇数或者同为偶数，它们之和为偶数。

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