（新课程）高中数学《2.2.2 椭圆及其简单几何性质（2）》课件 新人教A版选修2-1

1、进进一步巩固一步巩固椭圆椭圆的的简单简单几何性几何性质质掌握直掌握直线线与与椭圆椭圆位置关系的相关知位置关系的相关知识识第第2课时课时 椭圆方程及性质的应用椭圆方程及性质的应用【课标要求课标要求】【核心扫描核心扫描】与直与直线线和和椭圆椭圆的位置关系相关的距离、弦的位置关系相关的距离、弦长长、中点等、中点等问题问题(重点重点)与与椭圆椭圆相关的相关的综综合合应应用用问题问题(难点难点)1212自学导引自学导引所以消所以消y得一个一元二次方程得一个一元二次方程位置关系位置关系解的个数解的个数的取的取值值相交相交_解解_0相切相切_解解_0相离相离_解解_0两两一一无无想一想：想一想：直线和椭圆的位置关系能不能用中心到直线的距直线和椭圆的位置关系能不能用中心到直线的距离来判断呢离来判断呢？提示提示不能因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不不能因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等完全相等直直线线与与椭圆椭圆的位置关系的位置关系(1)直直线线与与椭圆椭圆有三种位置关系：有三种位置关系：相交相交直直线线与与椭圆椭圆有两个不同的公共点；有两个不同的公共点；相切相切直直线线与与椭圆椭圆有且

2、只有一个公共点；有且只有一个公共点；相离相离直直线线与与椭圆椭圆没有公共点没有公共点(2)直直线线与与椭圆椭圆的位置关系的判断：的位置关系的判断：我我们们把直把直线线与与椭圆椭圆的位置关系的位置关系问题转问题转化化为为直直线线和和椭圆椭圆的公共点的公共点问题问题，而直，而直线线与与椭圆椭圆的公共点的公共点问题问题，又可以，又可以转转化化为为它它们们的方程的方程所所组组成的方程成的方程组组的解的的解的问题问题，而它，而它们们的方程所的方程所组组成的方程成的方程组组的的名师点睛名师点睛解的解的问题问题通常又可以通常又可以转转化化为为一元二次方程解的一元二次方程解的问题问题，一元二次，一元二次方程解的方程解的问题问题可以通可以通过过判判别别式来判断，因此，直式来判断，因此，直线线和和椭圆椭圆的位的位置关系，通常可由相置关系，通常可由相应应的一元二次方程的判的一元二次方程的判别别式来判断式来判断其中，其中，x1x2，x1x2或或y1y2，y1y2的的值值，可通，可通过过由直由直线线方方程与程与椭圆椭圆方程方程联联立消去立消去y或或x后得到关于后得到关于x或或y的一元二次方的一元二次方程得到程得

3、到题型一题型一直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系思路探索思路探索 可先利用弦长公式及两点斜率公式构造方程可先利用弦长公式及两点斜率公式构造方程组，再通过解方程组，得到基本元素组，再通过解方程组，得到基本元素a，b的值，从而求得的值，从而求得方程方程解法一解法一设设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入代入椭圆椭圆方程并作差得方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.【例例1】规律方法规律方法 (1)法一利用了设点代入，作差，借助斜率解法一利用了设点代入，作差，借助斜率解题的方法，称作题的方法，称作“点差法点差法”或或“平方差法平方差法”，这是解析几何中，这是解析几何中解决直线与圆锥曲线相交的常用方法解决直线与圆锥曲线相交的常用方法(2)法二是圆锥曲线弦长的基本求法，是利用两点间的距离法二是圆锥曲线弦长的基本求法，是利用两点间的距离公式求得，并结合弦所在直线的斜率利用弦长公式与根公式求得，并结合弦所在直线的斜率利用弦长公式与根与系数的关系结合较简单，如果是焦点弦可结合椭圆的定与系数的关系结合较简单，如果是焦点弦可结合椭圆的定义解义解解法一解法一如右图，设

4、所求直线的方如右图，设所求直线的方程为程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160,(*)又设直线与椭圆的交点为又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则x1、x2是是(*)方程的两个根，方程的两个根，【变式变式1】所求直所求直线线的方程的方程为为x2y40.法二法二设设直直线线与与椭圆椭圆交点交点为为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为为弦弦AB的中点，的中点，x1x24，y1y22，又又 A、B在在椭圆椭圆上，上，x124y1216，x224y2216.两式相减，得两式相减，得(x12x22)4(y12y22)0，即即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.法三法三设所求直线与椭圆的一交点为设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，则另一交点为则另一交点为B(4x，2y)A、B在椭圆上，在椭圆上，x24y216，(4x)24(2y)216，从而从而A、B在方程在方程的图形的图形x2y40上，而过上，而过A、B的直线只有一条，的直线只有一条，所求直线的方程为所求直线的方程为x2

5、y40.(1)若点若点P的坐的坐标为标为(0，1)，求，求椭圆椭圆C的的标标准方程；准方程；(2)若点若点P的坐的坐标为标为(0，t)，求，求t的取的取值值范范围围 题型题型二二椭圆的综合问题椭圆的综合问题【例例2】(2)由点由点P的坐的坐标为标为(0，t)及点及点A位于位于x轴轴下方，得点下方，得点A的坐的坐标标为为(0，t3)，t3b，即，即b3t.显显然点然点B的坐的坐标标是是(3，t)，将它代入，将它代入椭圆椭圆方程得：方程得：规律方法规律方法 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式这其中要注意利用根的与系数的关系构造等式或函数关系式这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件判别式来

6、确定参数的限制条件【变式变式2】(12分分)我国我国计计划划发发射火星探射火星探测测器，器，该该探探测测器的运行器的运行轨轨道是以火星道是以火星(其半径其半径R34百公里百公里)的中心的中心F为为一一个焦点的个焦点的椭圆椭圆如如图图，已知探，已知探测测器器的近火星点的近火星点(轨轨道上离火星表面最近道上离火星表面最近 题型题型三三与椭圆有关的应用题与椭圆有关的应用题【例例3】【题后反思题后反思】解答与椭圆相关的应用问题时，事物的实际解答与椭圆相关的应用问题时，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题的方程对变量进行讨论，以解决实际问题“神舟神舟”五号五号载载人人飞飞船船发发射升空，射升空，于于15日日9时时9分分50秒准确秒准确进进入入预预定定轨轨道，道，开始巡天开始巡天飞飞行行该轨该轨道是以地球的中心道是以地球的中心F2为为一个焦点的一个焦点的椭圆椭圆选选取坐取坐标标系如系如图图所示，所示，椭圆椭圆中心在原点，近地点中心在原点，近地点A距地距地面面200 km，远远地点地点B

7、距地面距地面350 km.已知已知地球半径地球半径R6 371 km.求求飞飞船船飞飞行的行的椭圆轨椭圆轨道的方程道的方程【变式变式3】由由题设题设条件得条件得ac|OA|OF2|F2A|6 3712006 571，ac|OB|OF2|F2B|6 3713506 721，解得解得a6 646，c75.所以所以a244 169 316，b2a2c2(ac)(ac)44 163 691，利用利用设设而不解的方法求解直而不解的方法求解直线线与与椭圆椭圆相交位置关系中相交位置关系中的中点、弦的中点、弦长长等等问题问题是本是本节节特特别别常常见见的方程思想方法的方程思想方法 方法技巧函数方程思想在椭圆中的应用方法技巧函数方程思想在椭圆中的应用【示示例例】思路分析思路分析 求弦求弦AB的长，需确定点的长，需确定点A、B的坐标，点的坐标，点A、B是是直线与椭圆的交点，因此由直线方程和椭圆方程组成方程组，直线与椭圆的交点，因此由直线方程和椭圆方程组成方程组，解方程组，依据根与系数的关系和弦长公式可求解解方程组，依据根与系数的关系和弦长公式可求解方法点评方法点评 解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为：不解的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于消元得到关于x或或y的一元二次方程；的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或或y1y2，y1y2，进，进而求解而求解

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