概率论与数理统计习题集及问题详解

1、WORD概率论与数理统计作业集及答案第1章 概率论的基本概念1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A=；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ；B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= .1 .2 随机事件的运算1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A与B都发生,而C不发生表示为：.(3)A与B都不发生,而C发生表示为：.(4)A、B、C中最多二个发生表示为：.(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A、B、C中不多于一个发生表示为：.2. 设：则 （1），（2），（3） ， （4）= ，（5）= 。1 .3 概率的定义和性质1. 已知，则 (1), (2)()= , (3)=.2. 已知 则=.1 .4古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10

2、个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.1 .5 条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。2. 已知 则 。1 .6 全概率公式1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。1 .7 贝叶斯公式1 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。2 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为，B被误收作A的概率为，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一

3、开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。 A B L R C D 3. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第1章作业答案1 .11：（1）； （2）2：（1）； （2）正正，正反正正，反反正正，正反，反正。1 .21： (1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) ；(6) 或 ；2： (1)；(2)；(3)；（4）或 ；（5）。1 .31： (1) =0.3, (2)= 0.2, (3) = 0.7. 2：)=0.4.1 .41：(1),(2)(,(3)1-(.2： .1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。1 .61： 设A表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10设B表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P()P(B|) =两人抽“中的概率相同, 与先后次序无关。2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是，所求概率为：p = 0.5 0.4 + 0.5 1 .71：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；1

4、.8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = ABCD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)2： (1) 0； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布 随机变量的概念，离散型随机变量1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大., 试写出X的分布律.2 某射手有5发子弹，每次命中率是，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟接到用户的呼叫次数X是服从=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X有分布律： X 2 3 , Y(X), 试求：（1）P(X=2,Y2)； (2)P(Y2)； (3) 已知 Y2, 求X=2 的概率。 贝努里分布1 一办公室有5台计算

5、机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？2 设每次射击命中率为，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？ 随机变量的分布函数1设随机变量X的分布函数是： F(x) = （1） 求 P(X0 )； P；P(X1)，(2) 写出X的分布律。2 设随机变量X的分布函数是：F(x) = , 求（1）常数A, (2) P. 连续型随机变量1 设连续型随机变量的密度函数为：（1）求常数的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形，（3）用二种方法计算 P(- 0.5X0.5).均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。2 假设打一次所用时间（单位：分）X服从的指数分布，如某人正好在你前面走进亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20

6、分钟的概率。 正态分布1 随机变量XN (3, 4), (1) 求 P(2X5) , P(- 42), P(X3)；(2) 确定c，使得 P(Xc) = P(Xc)。2 某产品的质量指标X服从正态分布，=160，若要求P(120X200)，试问最多取多大？ 随机变量函数的分布1设随机变量的分布律为； X 0 1 2 Y = 2X 1, 求随机变量的分布律。2设随机变量的密度函数为：，；求随机变量Y的密度函数。3. 设随机变量服从（0， 1）上的均匀分布， ，求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案2.1 1： X 3 4 5 2： X 1 2 3 4 5 12.2 1： (1) P(X = 1) = P(X1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262, (2) P(X1) = 0.981684, (3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 。 2：(1) 由乘法公式：P(X=2,Y2) = P(X=2) P(Y ()= 2（2）由全概率公式：P(Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2) + P(X=3) P(Y2 | X=3)5= 0.2

7、7067 + 0.25391 = 0.52458 （3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y2)=2.3 1： 设X表示在同一时刻被使用的台数，则 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = (2) P(X 3 ) = (3) P(X 3 ) = 1 - (4)P(X 1 ) = 1 - 2： 至少必须进行11次独立射击.2.4 1：（1）P(X； P =；P(X，(2) X的分布律为： X -1 1 P 2： (1) A = 1, (2) P =1/62.5 1：（1），（2）；（3）P(- 0.5X0.5) = ； 或= F(0,5) F(-0.5) = 。 2： （1） （2）2.6 1： 3/5 2： 2.7 1：；(2) c = 3， 2：。2.8 1： Y - 1 1 3 2： ， 3： ；第3章 多维随机变量 二维离散型随机变量1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。2. 设二维随机变量的联合分布律为： X Y 0 1 2 试根椐下列条件分别求a和b的值； 0 0.1 0.2 a (1)(2)； (3)设是的分布函数，。 二维连续型随机变量1. 的联合密度函数为：求（1）常数k；（2）P(X1/2,Y1/2)；(3) P(X+Y1)；(4) P(X1/2)。2的联合密度函数为：求（1）常数k；（2）P(X+Y1)；(3) P(X1/2)。 边缘密度函数1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。 随机变量的独立性1. (X, Y) 的联合分布律如下， X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a和b的值； 1 1/6 1/9 1/18(1) ； 2 a

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