高量考试复习提纲(个人整理版)
15页1、1. 算符、矩阵表示以及密度矩阵在量子力学中,算符代表对波函数的一种运算,当我们用一组正交完备的基矢()将波函数进行展开时,算符对应的矩阵表示为:对于密度算符,定义为:选取具体基矢后,其矩阵表示:可以看出密度矩阵对角元上的值,正好对应系统出于该基矢对应态的概率。由归一化条件:算符的平均值可以写为:纯态与混态:纯态指的是体系处于一个确定的波函数所描述的态,比如:其中满足概率幅归一化条件。混态指的是有很多个粒子,我们不确定每个粒子所处的状态,但统计表明处于某个态的比例我们知道,比如:可以写成,但这并不是一个波函数,只是表明处于各个状态的概率而已。(这里满足概率归一化条件。)混态密度矩阵定义为:吉布斯熵:直积态:两个纯态作直积得到的态,例如:波函数满足归一化条件,直积态就是仍然是一个纯态。两个体系A和B构成的复合态,若不是直积态,则被称为纠缠态,例如:不能写成两个纯态的直积,是一个纠缠态(态的粒子自旋只能朝上,态的粒子自旋只能朝下)。复合态的密度矩阵定义为:约化密度矩阵:,这里表示将处于B本征态的密度矩阵元拿出来求和。作业题:a. 已知,求证:证:不显含时间,因此第二项为零,第一项和第三项可
2、以根据薛定谔方程来化简,即:, 则另外:代入得:证毕。b. 求证:证:定义函数,在处进行泰勒展开:令即得证。c. 已知:,求证:证:(这是一个直积态,写着玩的),另外:可以证明,函数在条件的条件极值点为,证明如下:引入拉格朗日乘子对各个参数求偏导求零点得:代入:于是有:即极值点为:,注意到这个极值点在确定的1,2态下,唯一确定(就是直积态),而且并不含参数的交叉项,因此二阶交叉偏导均为零,二阶纯偏导均为负,因此这个极值点是最大值点,题设条件要求不是直积态,则。d. 如果,且,求证:证明:容易证明是一个上凸函数()则有证毕。2. 路径积分理论与AB效应 传播子:用来描述不同时刻不同状态之间的概率联系,例如,在坐标本征态下表示粒子若在t时刻处于r,则在之后的t时刻处于r的概率波幅。考虑到t时刻粒子不一定百分百在r,它有一个概率分布,概率波幅用波函数描述,对全空间做积分可以得到:从定态薛定谔方程的解,可以得到坐标表象下的传播子表达式为:传播子的性质:传播子的组合规则和传播子所满足的方程组合规则:可以考虑在t与t中加入一个时间节点t1,概率波幅分布,则对比,可以得到:也可以进一步推广到n个节点
3、上去。所满足的方程:tt时,传播子的物理含义表明,它是一种特殊的波函数,所以应满足薛定谔方程,即:tt时的传播子从因果律考虑,它应该没有意义,我们将它定义为,也满足薛定谔方程。在t=t时,我们知道,与其它时间段的值放在一起,并不满足薛定谔方程,不过可以总结为:因此传播子是薛定谔方程的一类格林函数。 路径积分路径积分说的是,粒子从一个点A出发,到达另一个点B的概率波幅(传播子),实际上是粒子通过所有路径到达B点的概率波幅的叠加,由于路径是连续的,求和变为积分,也就是说:传播子等于所有道路的路径积分!费曼的路径积分理论基本假定是如下构造传播子:其中C为适当的归一化系数。所谓的相空间和位形空间中的路径积分,实际上就是分别在相空间和位形空间中计算传播子,太麻烦了我觉得不会考,就不写上去了,有兴趣的自己看书吧。 A-B效应磁的A-B效应说的是,粒子经典干涉路径不通过磁场区域,但磁场的有无仍然可以影响干涉的相位,这在路径积分理论中可以有很好的说明:路径积分理论传播子中出现拉格朗日量L,在磁场下L中将出现矢势A,由于A不为0(哪怕该路径上的磁场为0),会对路径积分产生相位的影响。3. 散射理论 微分
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