几何画板迭代详解之：迭代与分形几何

1、几何画板迭代详解之：迭代与分形几何佛山市南海区石门中学 谢辅炬分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道 小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分 形。人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。1. 用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。2. 表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海

2、绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割-随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。【步骤】1. 在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。2. 新建参数n33. 顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,。4. 添加新的映射, 。第 3 步第 4 步5. 继续添加映射。6. 改变参数n可观察图形变化。第 5 步第 6 步【Sierpinski地毯】和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其 9 等分，得到 9 个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积

3、趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。【步骤】1. 平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。2. 以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分；3. 并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。第 2 步第 3 步4. 新建参数n4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，（如下图）可以制作空间的

4、Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？【摇曳的Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树)】毕达哥拉斯学派发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。【步骤】1. 在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。2. 填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。3. 新建参数n4，选择A、B和n，作深度迭代，。第2 步第 3 步4. 选择E点，单击【编辑】【操作类按钮】【动画】，E点变动，很漂亮的效果。当E点在的中点时，整个树显出对称美。【分形树】【分析】和毕达哥拉斯树类似，树枝按一定的规律生长。【过程】1. 在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。 2. 度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量的大小。3. 双击C点作为旋转中心，旋转角度为，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为

5、F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。4. 双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。第 3 步第4 步5. 新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。6. 移动C点的位置，改变树枝的形状。【KOCH 曲线】瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象，这一年 他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步骤。它的构造过程如下：取一条长度为L的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为的两个等长的直线，每段长度均为L/3，这是n=1的第一次操作。类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长为L/3的线段都进行三等分，现在每段长度为L/9，并将它们中间的一段改成夹角为的两个长度为L/9的直线。如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。【步骤】1. 画线段A

6、B，以A为缩放中心，B缩短为1/3,得到C点；同理以B为缩放中心，A缩短为1/3，得到D点。以C点为旋转中心，D点顺时针旋转60度，得到E点。2. 隐藏线段AB，连接线段AC、CE、ED、DB。3. 新建参数n3，顺次选择A、B两点和n，作深度迭代。(A,B) (A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。（如下图所示）4. 单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代”。隐藏线段AC、CE、ED、DB（如下图所示）。5. 改变参数n，观察图形变化。【KOCH雪花】因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”(snowflake curve)，也很像海岸线。柯赫曲线的生成过程很简单，以一个三角形作为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的1/3，然后按科赫曲线的规则产生生成元。从源多边形开始，第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边然后按科赫曲线的生成规则进行同样的操作得48条边星形，如图4-5，以后依此进行同样得操作，直至无穷，生成称为科赫雪花的图形。在极限的情况下，科赫雪花的上的折线演变成为曲线。由于科赫曲线生成中的每一步操作都会使折线的长度增加，所以在极限的情况

7、下，科赫雪花边的总长度将趋于无穷。柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端”，用数学的语言讲，曲线虽然 连续，但处处不可微，即没有切线。【步骤】1. 在平面上取AB做一个KOCH曲线，然后在A的左端任取一点G，在B的右边任取一点F，分别在AG和BF上做KOCH雪花，注意三个迭代深度都必须为n。2. 以B点为旋转中心，A顺时针旋转60度得到H点。选择G，H两点，单击【编辑】【合并点】，则G点与H点合并。同理，再合并H、F两点。KOCH雪花完成了。【数学之美】【步骤】1. 任取两点A、B，并作正方形ABCD。2. 在AB上任取一点E,连接BE，度量线段BE的长度并计算BE/AB。3. 双击A点作为缩放中心，选择D点，单击【变换】【缩放】以计算结果AE/AB为比例缩放，得到点F；同理以D点为中心，缩放C点得到点G；以C点为缩放中心，缩放B点得到点H。连接正方形EFGH。4. 新建参数n5，顺次选择A、B两点，和参数n，按下shift键不放，作深度迭代， 。如下图所示：5. 选择E点，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】。E点变动，产生梦幻般的效果。【H迭代】【步骤】1. 在水平直线上取两点A和B，连接AB。以A点为旋转中心，B点顺时针旋转90度，得到C点，再取AC中点D。2. 以D为旋转中心，C点顺时针旋转90度得到E点，取DE中点F。以D为旋转中心，F点再旋转180度得到G点。连接FG。3. 同理再画出H、I两点。以AB为标记镜面，得到F、G、H、I关于AB的对称点J、K、L、M，连接线段JK，LM。（如下图所示）4. 隐藏不必要的点，新建参数n4。顺次选择A、B两点、参数n，作深度迭代，. 5. 单击迭代，隐藏各点的标签。【蜂巢】蜜蜂地巢你观察过没有？是什么形状呢？聪明的蜜蜂选择了正六边形，因为这样可以填充整个空间，而且正六边形是最省材料的一中结构。从蜂巢中我们也可以发现许多自相似的结构。由三条边迭代就可以得到蜂巢了，不信？请看。【步骤】1. 屏幕上任取线段AB，以B为旋转中心，A点顺时针旋转120度得到点C，A点逆时针旋转120度得到点D。2. 新建参数n5。选择A、B和参数n，作深度迭代，。3. 单击迭代，得到蜂巢的图像。上面的迭代只是分形几何的一部分，由于篇幅所限，下面给出其余一些分形几何的图片，以供欣赏：

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