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高中数学知识点总结不等式的解法及其综合应用

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常见问题

1、要点重温之不等式的解法及其综合应用1解分式不等式不能轻意去分母，通常采用：移项（化一边为零）通分转化为整式不等式化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；特别关注求一个变量的范围时，讨论的也是这个变量，结果要并；讨论的若是另一个变量，结果不能并。举例1关于x的不等式ax-b0的解集是(1,+)，则关于x的不等式的解集是（）A(-,-1)(2,+) B(-1,2) C(1,2) D(-,1)(2,+)解析：不等式ax-b0的解集是(1,+)a0且a=b，则不等式等价于：(x+1)(x-2)0x2或x1，等价于：此时需知不等式相应的方程的两根与=2的大小，比差：=，可见a1时，,不等式的解为：(-，)（2，+)若a1，不等式等价于：，（）若0a,不等式的解为：（2,）；（）若a0，1时不等式的解为(-，)（2，+)；当0a1时不等式的解为（2,）；当a=0时不等式的解为；当a0则|f(x)|Mf(x)M或f(x)0,q：0,则p是q的 ( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分

2、条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：p：(-，-4) （5，+)；以下对命题q中的不等式去绝对值：（）0时原不等式等价于：0-12；注意到0，02；（）0时，原不等式等价于：0-11或-2；注意到0, -10或-2；q:(-，-2)(-1，1)(2，+)可见：pq,故选A。巩固不等式的解集是 .迁移已知函数在上是增函数，A (0, -2 ), B (4 ,2 )是其图象上的两个点，那么不等式的解集是 3分段函数形成的不等式一般分段解，再取并集；对较为复杂的分段函数问题可以借助于图象解决。举例1设函数，若则x0取值范围是（）A（-，-1）（1，+） B（-，-1）（0，+）C（-1，0）（0，1） D（-1，0）（0，+）解析：若x00 |x0|1 x00 x00故选B举例2已知：函数（）解不等式：解析：（）当时，即解，此时不等式恒成立，即；（）当时，即解，，或综上：不等式的解为：巩固1设函数，则使。则x0的取值范围是（） A （-0，10 B （- C （ D-2，01，10巩固2已知则不等式5的解集是 4解抽象函数的不等式离不开函数的单调性。抽象函数的不等式

3、反映出的函数值的大小，需借助于函数的单调性化归为自变量的大小，特别注意定义域。画抽象函数的“概念图”是化抽象为形象的有效途径；对某些有具体函数背景的抽象函数，可以从该具体函数中寻找解题线索。举例1已知奇函数f(x)在为减函数，f(2)=0则不等式(x-1)f(x-1)0的解集为：。解析：作函数f(x)的“概念图”如右：先求不等式xf(x)0时（y轴右侧），f(x)2；当x0(x轴下方)，x-2；可见不等式xf(x)0的解为：x2（也可以根据满足不等式xf(x)0的函数图象上的点横、纵坐标异号，看图象在第二、四象限的部分得出）。再将x换成x-1,得：x-12即x3。举例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0时，f(x)2，f(3)5，求不等式 f（a22a2）3的解.解析：正比例函数f(x)满足：f（xy）f（x）f（y），本题中函数f(x)可视为一次函数。解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；用定义：任取x10,则f(x2-x1)2f(x2)+f(-x1)-22f(x2)+f(-x1)4；对f(x+y)+2f(x)+f(y)取x=y=0得：f(0

4、)=2,再取y= -x得f(x)+f(-x)=4即f(-x)=4-f(x),有f(x2)+4-f(x1)4f(x2) f(x1) f(x)在R上递增又f(3)=f(2)+f(1)-2=f(1)+f(1)-2+f(1)-2=3f(1)-4=5 f(1)=3；于是：不等式 f(a2-2a-2)3等价于f(a2-2a-2)f(1)a2-2a-21-1a1,则 f(x)在xA上恒成立 g(a)f(x)max，g(a)f(x)在xA上恒成立 g(a)0在xA上恒成立f(a,x)min0, (xA)及f(a,x)0, (xA)来转化；还可以借助于函数图象解决问题。特别关注：“不等式f(a,x)0对所有xM恒成立”与 “不等式f(a,x)0对所有aM恒成立”是两个不同的问题，前者是关于x的不等式，而后者则应视为是关于a的不等式。特别提醒：“判别式”只能用于“二次函数对一切实数恒成立”的问题，其它场合，概不适用。举例1定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在0，+为增函数，对任意R，不等式f(cos2-3)+f(2m-sin)0恒成立，则实数m的取值范围是解析：函数f(x)为奇函数且在0，+为增函数，

5、易见：函数f(x)为在（-，0上递增，函数f(x) 在（-，+上递增；不等式f(cos2-3)+f(2m-sin)0恒成立不等式f(cos2-3)f(-2m+sin)恒成立不等式cos2-3-2m+sin恒成立2m2sin2+ sin+2恒成立,记g()=2sin2+ sin+2=2(sin+)2+, g()max=g(1)=52m5m.举例2设奇函数在-1，1上是增函数，且，若函数对所有的及所有的都成立，则的取值范围是；解析：先视x为主元，关于x的不等式对所有的横成立，又在-1，1上递增，即：1，现在视a为主元，关于a的不等式0对所有的都成立，记g(a)= -2ta+t2，此时分离参数（t）或求函数g(a)的最小值均需讨论，但如果注意到函数g(a)是一次函数，其图象是一条直线，则g(-1) 0且g(1) 0得t2或t-2或t=0。巩固1f(x)是偶函数，且f(x)在0，+上是增函数，如果f(ax+1)f(x-2)在，1上恒成立，则实数a的取值范围是。巩固2对满足的实数P，做恒成立的x的取值范围是： A.B.C.D.迁移已知函数，直线：，若当时，函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围是简答1、巩固1（，-1）（0，1），巩固2 当a=0时不等式的解为：x|x0时不等式的解为：x|x1；当a0时不等式的解为：x|x；迁移9。2、巩固，迁移（-2，2），3、巩固1 C ，巩固2 （-，4、巩固1 巩固2 ；5、巩固1A，巩固21，26 巩固1-2，0，巩固2C,迁移（-，-6）

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