矩阵理论试题(2006级)
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2006级硕士研究生矩阵理论试卷一、判断题（40分）（对者打，错者打）1、设矩阵，. ( )；2、设的奇异值为，则. ( )3、设，且有某种算子范数，使得，则,其中E为n阶单位矩阵. ( )4、设(其中，E为n阶单位矩阵，)，则 ( ) 5、设，则A的M-P广义逆的秩. ( )6、若A为列满秩矩阵，则既是的左逆又是A的M-P广义逆. ( )7、设线性空间的一组基，则. 是上向量x的范数. ( )8、设，则A有三个实特征值. ( )9、设为矩阵的广义逆，为的最大秩分解，则 . ( )10、设为严格对角占优矩阵，(E为n阶单位矩阵)，则B的谱半径. ( )二、计算与证明（60分）1. 设矩阵U是酉矩阵, , 证明: 的所有特征值满足不等式. (10分)2. 设是上的相容的矩阵范数, 矩阵都是n阶可逆矩阵, 且及都小于或等于1, 证明: 对任意矩阵定义了上的一个相容的矩阵范数. (10分)3. 已知矩阵,(1) 求矩阵的最大秩分解;(2) 求;(3) 用广义逆矩阵方法判断方程组是否有解?(4) 求方程组的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解) (10分)解: (1),(2), ,(3) , 方程组有解;(4) 最小范数解:.4. 用Gerschgorin圆盘定理证明: 矩阵能够相似于对角矩阵且的特征值都是正实数.证明: 的5个盖尔圆盘为它们都是孤立的, 从而矩阵有5个互异特征值, 所以矩阵能够相似于对角矩阵, 再由关于实轴对称且都在y坐标轴右边, 以及实矩阵的复数特征值成对共扼出现的性质知, 中的特征值必为正实数, 所以的特征值都是正实数.5. 设矩阵, 表示矩阵的最大奇异值, 证明: (1) ;(2). . (10分)证明: (1) (2) .6. (1) 设是可逆矩阵, 是的一个特征值, 对于任意的算子范数, 证明. (5分)(2) 设矩阵, , 证明: , 其中表示矩阵的秩, 约定在和式中.(5分)证明: 由于用一非零数乘以矩阵的一行的所有元素不改变矩阵的秩, 因而可以假设矩阵的主对角元素, 且所有的或者为0. 则矩阵的所有特征值都在单位圆内且可以证明,(的非零特征值的个数).
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