大学微积分l知识点总结一

1、大学微积分l知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识1、不等式：ab2a_ . ab _ 2 b2 _ 2ab弓|申十比十十an ):n aia2-anaa? . an n n-a1a2.annTA_双向不等式：|a - b| |ab 0或ab00时取等号 扩展：若有y =x1x2 xn,且x1+x2+.+xn = p(p为常数)abc3a3 b3 c3 = 3abc, a ba2 b2则y的最大值为:x1 x2 . xn柯西不等式：设a1、a2、.a n, b1、区. bn均是实数，则有:幻力 +a2b2 +anbn 22 +&2 2 +.(an 2 Wb 2 +M 2 +.十(bn f )当且仅当，a, =bjQ为常数，i =1,2,3.n时取等号2、函数周期性和对称性的常用结论1、若 f (x+a) =f (x+b),则 f (x)具有周期性；若 f (a+x) = f (b-x), 则f (x)具有对称性。口诀：”内同表示周期性，内反表示对称性”2、周期性(1)若 f (x+a) =f (b+x),贝U T=|b-a|(2)若 f (x+a) =-f (b+x),贝U T=2|b

2、-a|(3)若 f (x+a) =1/f (x),则 T=2a(4)若 f (x+a) = 1-f (x) / 1+f (x),贝U T=2a(5)若 f (x+a) = 1+f (x) / 1-f (x),贝U T=4a3、对称性(1)若 f (a+x) =f (b-x),贝U f (x)的对称轴为 x= (a+b) /2(2)若 f (a+x) =-f (b-x) +c,贝U f (x)的图像关于(a+b) /2 , c/2 )对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。(1)若f(X)的图像有两条对称轴乂=2和乂加，则f(X)必定为周期函数，其 中一个周期为2|b-a| 。(2)若f (x)的图像有两个对称中心(a, 0)和(b, 0) , (awb),则f (x) 必定为周期函数，其中一个周期为 2|b-a| 。(3)若f (x)的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心(b, 0) , (awb),则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a| 。正弦sin ：=l余切 cot .:二 mn倒数

3、关系：,一 1tan 一 =cotf商的关系：sin；: , 一 sec.: tan.=cos：cscf平方关系： 2 一2 .sin 二 cos : = 12 _1 - tan ： = 11 cot =1余弦cos： =m l正割sec：= m正切 tan 一：二口 m余割csc：=- n.一 1sin.=csc.:1cos.=sec：cosf x -csc.:二 cot；二sin：sec.:平常针对不同条件的两个常用公式:2 -2 -sin 二 cos ; 11tan： *cot=1一个特殊公式:sin sin - sin - sin 二-sin f s sin - -二倍角公式:sin2A = 2sinA *cosA222，cos2A = cos A-sin A =1-2sin Atan2A =2tanA21-tan A半角公式:sin2 a =- 1-cosa222 cosa、1 )-J = 5(1 +cosa)sina 1-cosa1 cosa sinaa) sina 1 + cosa cot - i =2 J 1 - cosa sina三倍角公式：sin3a =4sina

4、,sin +a f*sin - a (Tt、(JT、cos3a = 4cosa ,cos +a i*cos -a i3)3)(31、tan3a = tana ,tan +a i *tan - a i3 J3)万能公式:1 tan21-tan2两角和公式：sin F : =sin ： *cos:cos.: *sin :sin f-sin： *cos： -cos： *sin :cos : : =cos : *cos： - sin： *sin : cos ：:- : = cos.: *cos： sin： *sin :tan：: tan:1 - tan *tan：tan；: - tan:1 tan.: *tan:和差化积公式：sin 1 sin = 2sin sin 二-sin =2cos1/2Sin_cos? cos =2cos i：Ei； cos - - ! 1cos【-cos = - 2 sin i : 2 sin u-:2tanA tanB =sin A B tan A BtanA-tanBcosA *cosB 1 - tanA *tan B sin A-B tan A -BcosA

5、*cosB 1 tanA *tanB积化和差公式: 1sin : *sin -=cos P -cos工-1-:1cos： *cos - = bos I - Pcos。- -21sin : *cos - = sin。- l J rsini -2口诀：奇变偶不变，符号看象限证明：acoaA + bsinA = Ja2 +b2sin(A+ M )其中 tanM =a证：设 acosA bsinA = x *sin A Ma b 二 acosA+bsinA =x cosA + sinA !no, k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(2)第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题 P(n)验证n=no时P (n)成立假设no&nn。)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k) 成立。5、初等函数的含义概念：初等函数是由幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生，并且能用一个解析式表 示的函数。【有理运算：力口、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【基本初等函数：对数函数、指数函数、幕函数、三角函数、反三

6、角函数】6、二项式定理：即二项展开式，即(a+b ) n的展开式 a b n =Cnan Cn nan1 *b . Cnkan-k *bk . Cnnbn其中Cnk称为二次项系数Cnkan-k,bk叫做二次项展开式的通 项，它是第k+1项，用Tk4表示k-1 n - k 1 n k其中，a =-1/- k-1 C (k -1 !) *k7、高等数学中代换法运用技巧倒代换把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替，此种方法被称为“倒代换”法增量代换若题目中已知xm,则引入辅助元x=m+a(a0),再将辅助元代入题中解题。此种代换方法称为“增量代换法”三角代换Jx1 1 +一 e n a2、Ja2 x2、Jx2 +a2双代换nXlim ：引入两个辅助元进行代换n 二 yn8、其他一些知识点(1) 0不是正数，不是负数。是自然数。0是偶数，偶数分为：正偶数、负偶数 和0(2)正偶数称为“双数”(3)正常数：常数中的正数(4)质数：又称“素数”。一个大于 1的自然数，如果除了 1和它自身以外，不能被其他自然数整除的数，否则称为“合数”。最小的质(素)数是 2。1既 不是素数，也

7、不是合数。(5) exp：高等数学中，以自然对数e为底的指数函数(6)在数学符号中，sup表示上界；inf表示下界(7)三：表示恒等于(8) 0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义，递推公式为：n! =n (n-1 ) !因为1 的阶乘为1,即1! =1X0!,故0! =1【第二部分】函数与极限常用结论(等价无穷小很重要)(1 +x，之 1 +nx111 x n _1 x nex -1 x1e -1 x x1时成立1-xjln1x Mx1 x其中，Ie=2.71811n.enJ , e为初等函数，又称“幕指函数”，e即根据此公式得到,12+220, lim v(x )=b(a、b为常数XT。x Mo)则 lim u(x 淤)=abX典01 f x 片 l e一些重要数列的极限：ax-1xlnaIn b xex -1 t x1 x ：-1 ，改arcsinx xarctanx x另一些重要的数列极限：Jm=0(k0)Jmqn =0(jq1)nlim a-=0(a为常数) lim Vn =1n nnF： q0 b0,0n-cn 小a a 1,b , 0 n11 0 Inn柯西极限存在准则：柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。给出了极限收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数e ,存在这样的正整数N,使得当rnN, nN时就有|xn-xm| 0这个准则的几何意义表示，数列 X收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的

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